x⁴ = (x-1)⁴
Ponche Ponche, tu veux du Onche ?
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x/(x-1) plutôt
Il y a deux manières de résoudre cette équation: La "normale" qui te donne toutes les solutions et la "simple" qui ne te donne que les solutions réelles
x⁴ = (x-1)⁴
<=> x⁴ = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1
<=> x⁴ -(x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1) = 0
<=> x⁴ - x⁴ + 4x³ - 6x² + 4x - 1 = 0
<=> 4x³ - 6x² + 4x - 1 = 0
<=> 2(4x³ - 6x² + 4x - 1) = 2 * 0
<=> 8x³ - 12x² + 8x - 2 = 0
<=> (2x)³ - 3(2x)² + 4(2x) - 2 = 0
On va créer une variable "A" qui vaut 2x pour simplifier les choses
<=> A³ - 3A² + 4A - 2 = 0
<=> (A³) - (A² + 2A²) + (2A + 2A) - 2 = 0
<=> [A³ - A²] + [-2A² + 2A] + (2A-2) = 0
<=> [A²*A¹ - A²*1] + [2A - 2A²] + (2*A - 2*1) = 0
<=> [A²(A-1)] + [-2(A²-A)] + [2(A-1)] = 0
<=> A²(A-1) - 2A(A-1) + 2(A-1) = 0
<=> (A-1)(A² - 2A + 2) = 0
Donc déjà ici on sait que 1 est une réponse*
(1-1)*trucs = 0
*Une réponse pour subsituer A qui vaut 2x, et non x
Bref le reste (A² - 2A - 2) c'est juste la sainte formule quadratique
<=> (A-1)(A-[1A² + (-2)A + 2]) => Donc a = 1, b = (-2) et c = 2
<=> (A-1)(A-[((-b)<+->sqrt(b²-4ac))/2a])
<=> (A-1)(A-[(2 <+-> sqrt(4 - 8))/2])
<=> (A-1)(A-[(2 <+-> sqrt(-4))/2])
<=> (A-1)(A-[(2 <+-> 2i)/2])
<=> (A-1)(A-[(2/2)<+->(2i/2)])
<=> (A-1)(A-[1 <+-> i])
Voilà donc toutes les solutions
On remplace A par 2x
<=> (2x-1)(2x-[1 <+-> i])
<=>¹ 2x - 1 = 0
<=>¹ 2x = 1
<=>¹ x = 1/2 ou 0,5
<=>² 2x - [1 <+-> i] = 0
<=>² 2x = [1 <+-> i]
<=>² x = [1 <+-> i]/2
<=> (x-[1/2])(x-[1/2 <+-> i/2]) = 0
Voilà les trois solutions
S = {1/2 ; (1+i)/2 ; (1-i)/2}
Ponche Ponche, tu veux du Onche ?
Fallait pas me donner la solution si vite, je n'ai pas eu le temps de chercher
merde j'avais oublié de fermé la balise spoiler
Ponche Ponche, tu veux du Onche ?
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Connectez-vous pour masquer les pubsIl y a deux manières de résoudre cette équation: La "normale" qui te donne toutes les solutions et la "simple" qui ne te donne que les solutions réelles
x⁴ = (x-1)⁴
<=> x⁴ = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1
<=> x⁴ -(x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1) = 0
<=> x⁴ - x⁴ + 4x³ - 6x² + 4x - 1 = 0
<=> 4x³ - 6x² + 4x - 1 = 0
<=> 2(4x³ - 6x² + 4x - 1) = 2 * 0
<=> 8x³ - 12x² + 8x - 2 = 0
<=> (2x)³ - 3(2x)² + 4(2x) - 2 = 0
On va créer une variable "A" qui vaut 2x pour simplifier les choses
<=> A³ - 3A² + 4A - 2 = 0
<=> (A³) - (A² + 2A²) + (2A + 2A) - 2 = 0
<=> [A³ - A²] + [-2A² + 2A] + (2A-2) = 0
<=> [A²*A¹ - A²*1] + [2A - 2A²] + (2*A - 2*1) = 0
<=> [A²(A-1)] + [-2(A²-A)] + [2(A-1)] = 0
<=> A²(A-1) - 2A(A-1) + 2(A-1) = 0
<=> (A-1)(A² - 2A + 2) = 0
Donc déjà ici on sait que 1 est une réponse*
(1-1)*trucs = 0
*Une réponse pour subsituer A qui vaut 2x, et non x
Bref le reste (A² - 2A - 2) c'est juste la sainte formule quadratique
<=> (A-1)(A-[1A² + (-2)A + 2]) => Donc a = 1, b = (-2) et c = 2
<=> (A-1)(A-[((-b)<+->sqrt(b²-4ac))/2a])
<=> (A-1)(A-[(2 <+-> sqrt(4 - 8))/2])
<=> (A-1)(A-[(2 <+-> sqrt(-4))/2])
<=> (A-1)(A-[(2 <+-> 2i)/2])
<=> (A-1)(A-[(2/2)<+->(2i/2)])
<=> (A-1)(A-[1 <+-> i])
Voilà donc toutes les solutions
On remplace A par 2x
<=> (2x-1)(2x-[1 <+-> i])
<=>¹ 2x - 1 = 0
<=>¹ 2x = 1
<=>¹ x = 1/2 ou 0,5
<=>² 2x - [1 <+-> i] = 0
<=>² 2x = [1 <+-> i]
<=>² x = [1 <+-> i]/2
<=> (x-[1/2])(x-[1/2 <+-> i/2]) = 0
Voilà les trois solutions
S = {1/2 ; (1+i)/2 ; (1-i)/2}
Deuxième manière simple mais ne fonctionne que dans R:
x⁴ = (x-1)⁴
<=>¹ sqrt(sqrt(x⁴)) = sqrt(sqrt((x-1)⁴))
<=>¹ x = x-1
<=>¹ 0 = -1 donc ça n'a pas de solution
<=>² x = -(x-1)
<=>² x = -x+1
<=>² x = 1-x
<=>² 2x = 1
<=>² x = 0,5
Ponche Ponche, tu veux du Onche ?
C'est pour que ce soit compréhensible, calme toi
+Remplacer et dire que ça marche c'est stupide, c'est un super moyen pour laisser tomber les autres solutions
+Remplacer et dire que ça marche c'est stupide, c'est un super moyen pour laisser tomber les autres solutions
Ponche Ponche, tu veux du Onche ?
Pour les amateurs de probabilités :
https://api.newton.ac.uk/[...]/events/preprints/NI05043
( c'est simplement un pdf )
Sinon vous pouvez juste remonter un cran au-dessus et chercher si une public vous intéresse.
https://api.newton.ac.uk/website/v0/events/preprints/
( c'est simplement un pdf )
Sinon vous pouvez juste remonter un cran au-dessus et chercher si une public vous intéresse.
Pour les amateurs de probabilités :
https://api.newton.ac.uk/[...]/events/preprints/NI05043
( c'est simplement un pdf )
Sinon vous pouvez juste remonter un cran au-dessus et chercher si une public vous intéresse.
https://api.newton.ac.uk/website/v0/events/preprints/
( c'est simplement un pdf )
Sinon vous pouvez juste remonter un cran au-dessus et chercher si une public vous intéresse.
