Les matheux du forom répondez à ce problème svp

Si on impose la conitnuité de la feuille (pas d'étirement, déchirement,...) alors tout pli est droit car deux plans qui se croisent se croisent en une ligne.

Pas d'étirement/déchirement, ça ne signifie pas forcément qu'on a un plan.

Par exemple, si tu incurves une feuille de papier de manière parabolique (selon la parabole d'équation z=x^2 dans l'espace par exemple), il n'y a pas d'étirement/déchirement (car une parabole est de courbure nulle au sens de la géométrie riemanienne).

Bon j'ai une idée générale du truc (il faudrait remplir certains détails pour évacuer des cas trop pathologiques/tératologiques), mais malheureusement il n'y a pas vraiment de matheux ici pour vérifier que je ne raconte pas des conneries, sauf peut-être @Ariane et @Yoneda .

Disons qu'un pli est une application C1 par morceaux f de R² dans R² qui est C1 sur un ouvert dense U, et telle qu'en tout point de U, la différentielle df est une isométrie (pour éviter que la feuille ne soit chiffonnée/déchirée).

On note Ui les différentes composantes connexes de U.

1) Sur chaque Ui, df est constante, égale à une isométrie directe ou indirecte (utiliser l'analyse complexe pour montrer cela). Donc par intégration, la restriction de f à chaque Ui est elle-même une isométrie directe ou indirecte.

2) Si je prends un point p à la frontière entre Ui et Uj, en supposant que cette frontière puisse se paramétrer, au voisinage de ce point, par une courbe régulière g, alors on peut montrer qu'il n'y a que deux cas possibles:

a) soit sur Ui et sur Uj, f est égal à deux isométries de même sens, auquel cas il s'agit nécessairement de la même isométrie (et donc il n'y a pas de pli).

b) soit sur Ui et sur Uj, f est égal à deux isométries d'orientations opposées. Et alors dans ce cas, on peut montrer que la direction de la courbe g en p ne peut avoir qu'une unique valeur déterminée par les directions de ces deux isométries, c'est-à-dire que la courbe g est localement une droite.

On pourrait autoriser toutes les immersions isometriques de la feuille. Dans ce cas df n'est pas toujours constant sur une composante connexe.

Si on impose la conitnuité de la feuille (pas d'étirement, déchirement,...) alors tout pli est droit car deux plans qui se croisent se croisent en une ligne.