Je lance une pièce biaisée. Je peux tomber sur Face avec proba p comprise (strictement) entre 0 et 1 et je la lance plein de fois. Les lancers sont supposés indépendants . Je note T le numéro du premier lancer qui m’obtiens une séquence de quatre Face consécutives .
Valeur moyenne de T ? Variance de T?
Sympa comme exo. J'avais pas fait de maths depuis une éternité c'était dur de s'y remettre ahii
SPOILER: (edit: c'est complètement faux, erreur de compréhension) (j'avais confondu avec la loi géométrique)
Alors: La variable aléatoire T compte le rang de la 1ère séquence de 4 succès dans la répétition (identique et indépendante) d'une expérience de Bernoulli de probabilité de succès p€]0,1]
On obtient donc que pour un entier k>=1: la probabilité de {T=k} vaut:
[(1-p)^(k-1)].p^4
On calcule ensuite l'espérance et la variance en appliquant la formule, ça fait apparaître des séries géométriques dérivées et après calcul on obtient:
E[T] = p^4
V[T] = [2.(1-p)]/p^3 + 1/p^2 - p^4
Sympa comme exo. J'avais pas fait de maths depuis une éternité c'était dur de s'y remettre ahii
SPOILER: (edit: c'est complètement faux, erreur de compréhension) (j'avais confondu avec la loi géométrique)
Alors: La variable aléatoire T compte le rang de la 1ère séquence de 4 succès dans la répétition (identique et indépendante) d'une expérience de Bernoulli de probabilité de succès p€]0,1]
On obtient donc que pour un entier k>=1: la probabilité de {T=k} vaut:
[(1-p)^(k-1)].p^4
On calcule ensuite l'espérance et la variance en appliquant la formule, ça fait apparaître des séries géométriques dérivées et après calcul on obtient:
E[T] = p^4
V[T] = [2.(1-p)]/p^3 + 1/p^2 - p^4
Tu as faux pour l'espérance. C'est forcément un nombre > 1. C'est le nombre de lancers pour obtenir une premiere fois la séquence F, F, F, F. Par exemple :
P, F, F, P, F, F, F, F : T = 8
P, F, F, F, P, P, F, P, F, F, F, F : T = 12
La réponse est : j'en sais rien, même pas pour 2 réussites.
Mmh pour l'espérance je suis d'accord que c'est sensé être un nombre >=1
Sauf que quand on calcule E[T] = Somme[k.P{T=k}]
Ben on se retrouve avec:
E[T] = p^4.Somme[k.(1-p)^(k-1)]
Ce qui vaut, en appliquant la formule pour les séries géométriques dérivées:
(p^4).(1/p^2)
Mmh pour l'espérance je suis d'accord que c'est sensé être un nombre >=1
Sauf que quand on calcule E[T] = Somme[k.P{T=k}]
Ben on se retrouve avec:
E[T] = p^4.Somme[k.(1-p)^(k-1)]
Ce qui vaut, en appliquant la formule pour les séries géométriques dérivées:
(p^4).(1/p^2)
Ta loi n'est pas bonne (d'ailleurs tu n'as pas justifié)
Pourquoi p^4 en fait ? Je comprends pas. On cherche pas la proba d’avoir 4 Faces aux premiers quatre lancers.
Je sais pas, y'a un theorème pour ça
Ta loi n'est pas bonne (d'ailleurs tu n'as pas justifié)
J’ai pas la loi non plus . Juste
E et
Var.
Indice : Markov
Je sais pas, y'a un theorème pour ça
Ta loi n'est pas bonne (d'ailleurs tu n'as pas justifié)
Ma loi pas bonne ?
Ahh ok je vois dans ce cas c'est moi qui avait mal interprété l'énoncé. Je pensais que la variable aléatoire T comptait le rang du début de la 1ere séquence de 4 succès consécutifs
Alors qu'en fait T compte le rang du premier 4ème succès consécutif, c'est ça ?
Ma loi pas bonne ?
Ahh ok je vois dans ce cas c'est moi qui avait mal interprété l'énoncé. Je pensais que la variable aléatoire T comptait le rang du début de la 1ere séquence de 4 succès consécutifs
Alors qu'en fait T compte le rang du premier 4ème succès consécutif, c'est ça ?
Non tu as bien lu : T est le premier entier tel que X(T-3) = X(T-2) = X(T-1) = X(T) = Face.
Rien compris à l'énoncé
"premier lancer" = 4 lancers ?
J’ai pas la loi non plus . Juste
E et
Var.
Indice : Markov
Ce genre d'exo de prépix à astuce
Pourquoi p^4 en fait ? Je comprends pas. On cherche pas la proba d’avoir 4 Faces aux premiers quatre lancers.
Mmh c'est peut-être moi qui avait mal interprété l'énoncé.
J'avais compris que la variable aléatoire T comptait le rang du début de la 1ere séquence de 4 succès consécutifs
Si c'était le cas alors dans ce cas T aurait la loi suivante:
{T=k} à une probabilité de [(1-p)^(k-1)].p^k
(soit (k-1) échecs de probabilité (1-p) du rang 1 au rang (k-1), suivis ensuite de 4 succès de probabilité p du rang k au rang k+3)
Alors qu'en fait T compte le rang du premier 4ème succès consécutif, c'est ça ?
Je lance une pièce biaisée. Je peux tomber sur Face avec proba p comprise (strictement) entre 0 et 1 et je la lance plein de fois. Les lancers sont supposés indépendants . Je note T le numéro du premier lancer qui m’obtiens une séquence de quatre Face consécutives .
Valeur moyenne de T ? Variance de T?
Tu te remets à faire des topics de maths ?
Mmh c'est peut-être moi qui avait mal interprété l'énoncé.
J'avais compris que la variable aléatoire T comptait le rang du début de la 1ere séquence de 4 succès consécutifs
Si c'était le cas alors dans ce cas T aurait la loi suivante:
{T=k} à une probabilité de [(1-p)^(k-1)].p^k
(soit (k-1) échecs de probabilité (1-p) du rang 1 au rang (k-1), suivis ensuite de 4 succès de probabilité p du rang k au rang k+3)
Alors qu'en fait T compte le rang du premier 4ème succès consécutif, c'est ça ?
C'est juste que tu n'es pas obligé d'échouer tout le temps avant de réussir tes 4 coups.
C'est une martingale ?
Non tu as bien lu : T est le premier entier tel que X(T-3) = X(T-2) = X(T-1) = X(T) = Face.
OK je viens de comprendre l'énoncé!
C'est juste que tu n'es pas obligé d'échouer tout le temps avant de réussir tes 4 coups.
C'est une martingale ?
Ptn yes je venais juste de réaliser! Bordel je m'étais emmêlé les pinceaux avec la loi géométrique où on compte seulement le 1er succès
Bordel c'est beaucoup moins simple du coup ahii
