Je suis un génie des mathématiques

Bien joué

Essaie maintenant :
2x + 3y - z = 7 x - 2y + 4z = -1 3x + y - 2z = 6

J’ai fait plus que 5 ans sans être doctorant avec des doubles diplômes ou il y avait maths

Si une matrice carree reelle M est nilpotente, alors il existe un entier p tel que M^p = 0 mais M^k est non nul pour tout k < p

Si M est nilpotente, alors toutes ses valeurs propres sont 0. La trace d'une matrice est la somme de ses valeurs propres. Donc, la trace de M^k est 0 pour tout k entre 1 et n

Dans l'autre sens, si la trace de M^k est 0 pour tout k entre 1 et n, alors toutes les valeurs propres de M sont 0. Cela implique que M est nilpotente

En combinant ces deux points, on peut dire qu'une matrice carree reelle M est nilpotente si et seulement si pour tout k entre 1 et n, la trace de M^k vaut 0

Parce qu’il n’a qu’un niveau prépa j’imagine

2x + 3y - z = 7
x - 2y + 4z = -1
3x + y - 2z = 6

En utilisant la méthode d'élimination, on élimine x de deux des équations pour obtenir une équation avec deux inconnues, y et z et continuer

Après avoir effectué les calculs, on trouve que :

x = 2
y = 2
z = -1

Cela signifie que la solution du système est x = 2, y = 2 et z = -1

Owned

La trace d'une matrice est la somme de ses valeurs propres, si nous on prend une matrice M et son polynôme caractéristique, les racines de ce polynôme sont les valeurs propres de la matrice

Quand on élève cette matrice à une certaine puissance, son polynôme caractéristique est aussi élevé à cette puissance

Si la trace de M élevée à la puissance k est 0 pour chaque k entre 1 et n, cela signifie que la somme des valeurs propres élevées à cette puissance k est aussi 0

Ceci est vrai quand k est 1 et c’est est simplement la somme des valeurs propres, quand k est 2, quand k est 3, ect

Si une ou plusieurs des valeurs propres n'étaient pas nulles, alors en élevant ces valeurs propres à différentes puissances et en les additionnant, on ne pourrait pas obtenir une somme de 0 à chaque fois pour chaque k.

La seule façon que la somme des valeurs propres élevées à toutes les puissances soit toujours 0, c'est si toutes les valeurs propres sont en réalité 0

Je t’ai expliqué de 3 façons différentes parce que tu ne comprendrais rien le low

Et que tu voulais des explications pour un enfant de 8 ans alors que c’est presque impossible, tu m’auras fais perdre beaucoup de temps fdp

J’ai fait une petite confusion

Supposons que M ait des valeurs propres lambda1, lambda2, ..., lambdan. La trace de M est la somme de ses valeurs propres, pour toute puissance k de M,

Trace(M^k) = lambda1^k + lambda2^k + ... + lambdan^k

Si Trace(M^k) = 0 pour chaque k entre 1 et n, alors la somme des puissances k des valeurs propres est toujours 0

Si une des valeurs propres était différente de zéro, en élevant cette valeur propre à différentes puissances et en sommant, on ne pourrait pas toujours obtenir 0

Ainsi, pour que la somme des puissances k des valeurs propres soit toujours 0, toutes les valeurs propres doivent être 0

Un peu chaud sans les caractères spéciaux mais tentons

Supposons que M soit une matrice avec une valeur propre lambda (avec lambda différent de 0

Supposons aussi que v est le vecteur propre associé à lambda, c'est-à-dire que Mv = lambda v

Lorsquon multiplie la matrice au carré

M^2v = M(Mv) = M(lambda v) = lambda Mv = lambda^2 v

Par récurrence, on peut montrer que:
M^kv = lambda^k v

Cela signifie que lambda^k est aussi une valeur propre de M^k

Si la trace de M^k est la somme de ses valeurs propres, alors la trace de M^k contient la somme lambda^k ajoutée à elle-même autant de fois qu'il y a de vecteurs propres associés à lambda

Si lambda n'était pas 0, alors lambda^k ne serait pas 0 pour k = 1, 2, 3, ... et ainsi de suite

Donc, si la trace de M^k est 0 pour chaque k, cela signifie que lambda doit être 0

Fin du topic pour ce soir, bonne soirée les kheys

Moi aussi avec chatgpt je résous n'importe quelle équation

Oui, oui bien sûr, chat gpt est vachement bon en maths

Je te donne un truc assez simple qu’il ne devrait pas pouvoir résoudre si tu veux

C’est basé sur la propriété que la trace d'une matrice est la somme de ses valeurs propres

Si toutes les traces de puissances successives de
M sont nulles, cela implique que la somme de toutes les puissances de chaque valeur propre de
M est nulle pour toutes ces puissances

Ça serait impossible à moins que toutes les valeurs propres soient nulles

Soit M une matrice de dimension n x n et lambda une valeur propre de M

Notons v un vecteur propre associé à lambda. Alors,
Mv = lambda v et en élevant M à la puissance k, nous obtenons

M^k v = lambda^k v

La trace de M^k est la somme des valeurs propres de M élevées à la puissance k

Notons T la trace de M^k

T = lambda1^k + lambda2^k + ... + lambdan^k

Si T = 0 pour chaque k, alors la somme des puissances k de chaque valeur propre est 0

Si une des valeurs propres, disons lambda1, était différente de 0, alors lambda1^k ne serait pas 0 pour k = 1, 2, 3, ... et ainsi de suite

Par conséquent, il serait impossible pour la somme des puissances k de toutes les valeurs propres d'être 0, sauf si toutes les valeurs propres sont 0

La preuve que j'ai fournie est basée sur des principes mathématiques valides concernant les valeurs propres et la trace d'une matrice donc que tu le dises ne change rien, c’est tout à fait correct

Je te le fais sur mathbin si tu veux, la je peux pas utiliser de caractères spéciaux C’est chiant

Supposons que M soit une matrice dont toutes les valeurs propres ne sont pas zéro

Prenons une valeur propre non nulle, appelons-la lambda

Si lambda est non nul, alors au moins l'une des puissances de lambda ne sera pas zéro

Pour tout nombre réel ou complexe non nul x, x^k ne sera jamais zéro pour tout entier positif k

La trace de M^k est la somme des k-èmes puissances de toutes les valeurs propres

Si une valeur propre, disons lambda, est non nulle, alors lambda^k est non nul pour au moins un k

Par conséquent, la trace de M^k ne peut pas être zéro pour tous les k si toutes les valeurs propres ne sont pas nulles

Inversement, si la trace de M^k est zéro pour tout k, cela signifie que la somme des k-èmes puissances de toutes les valeurs propres est zéro pour tout k

C’est vrai que si toutes les valeurs propres sont nulles

Ton exemple est particulier dans le cas général, il est peu probable que cela se produise pour toutes les puissances K

Pour les matrices réelles en particulier, il est extrêmement rare que la somme des puissances de toutes les valeurs propres soit nulle pour chaque k
k sauf si toutes les valeurs propres sont nulles

Ce que je disais était une généralisation

A quoi ça sert la merde de système d'équations qu'on apprend au lycée?

ça sert à quoi les séries de Taylor ?