Question : est-ce qu'il existe un automorphisme α : S² x S² -> S² x S² tel que pour x0 ∈ S² et pour tout x ∈ S² on ait α(x, x0) = (x, x) ?
Je comprends que si l'on avait avait un groupe de Lie alors ça existerait : (x, y) ↦ (x, x + y), mais S^2 n'est pas une variété différentielle d'un groupe de Lie donc ça ne fonctionne pas dans ce cas.
Une autre idée que je n'ai pas vérifié est de voir si S² x S² \ S² x {x0} est difféomorphe à S² x S² \ {(x, x) : x ∈ S²}.
Pour l'instant, je sais seulement que ces espaces sont équivalent homotopiquement à S².
@PatrickSebasti1
Je comprends que si l'on avait avait un groupe de Lie alors ça existerait : (x, y) ↦ (x, x + y), mais S^2 n'est pas une variété différentielle d'un groupe de Lie donc ça ne fonctionne pas dans ce cas.
Une autre idée que je n'ai pas vérifié est de voir si S² x S² \ S² x {x0} est difféomorphe à S² x S² \ {(x, x) : x ∈ S²}.
Pour l'instant, je sais seulement que ces espaces sont équivalent homotopiquement à S².
@PatrickSebasti1
Vēritās līberābit vōs
Rien compris Jean-Grothendieck
Vous devez être au niveau
pour voir ce message.
les maths sont tabou maintenant ?
Vēritās līberābit vōs
Oui
Celui qui prétend être dans la lumière tout en haïssant son frère est encore dans les ténèbres
Oui
lequel ?
Vēritās līberābit vōs
Rien compris
lequel ?
Oui
Celui qui prétend être dans la lumière tout en haïssant son frère est encore dans les ténèbres
Question : est-ce qu'il existe un automorphisme α : S² x S² -> S² x S² tel que pour x0 ∈ S² et pour tout x ∈ S² on ait α(x, x0) = (x, x) ?
Je comprends que si l'on avait avait un groupe de Lie alors ça existerait : (x, y) ↦ (x, x + y), mais S^2 n'est pas une variété différentielle d'un groupe de Lie donc ça ne fonctionne pas dans ce cas.
Une autre idée que je n'ai pas vérifié est de voir si S² x S² \ S² x {x0} est difféomorphe à S² x S² \ {(x, x) : x ∈ S²}.
Pour l'instant, je sais seulement que ces espaces sont équivalent homotopiquement à S².
@PatrickSebasti1
Je comprends que si l'on avait avait un groupe de Lie alors ça existerait : (x, y) ↦ (x, x + y), mais S^2 n'est pas une variété différentielle d'un groupe de Lie donc ça ne fonctionne pas dans ce cas.
Une autre idée que je n'ai pas vérifié est de voir si S² x S² \ S² x {x0} est difféomorphe à S² x S² \ {(x, x) : x ∈ S²}.
Pour l'instant, je sais seulement que ces espaces sont équivalent homotopiquement à S².
@PatrickSebasti1
⇝⇝⇝⇝⇝⇝⇝⇝⇝ Mieux vaut être raciste que mort ⇜⇜⇜⇜⇜⇜⇜⇜⇜⇜⇜ ONE TWO THREE NIKE L'ALGERIE
je ne t'ai rien demandé
je n'ai pas de comptes sur jvc
je n'ai pas de comptes sur jvc
Vēritās līberābit vōs
Je crois qu'il n'y a pas de tel automorphisme, en regardant son action sur l'algèbre de cohomologie.
La cohomologie de S^2 x S^2, par Künneth, c'est une algèbre sur deux générateurs de degré 2, a et b, avec a^2 = 0, b^2 = 0, ab = c un générateur du H^4.
Supposons qu'on ait un automorphisme S^2 x S^2 dans lui-même qui envoie la première sphère sur la diagonale. Par dualité de Poincaré, ça veut dire que ça envoie (par exemple) a sur (a+b) et b sur autre chose. Existe-t-il un tel automorphisme ?
Non car (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab (en degré 2 le cup produit est commutatif) = 2ab = 2c != 0. Donc on ne peut pas envoyer a sur a+b.
C'est amusant parce qu'on voit pourquoi c'est possible pour S^1 x S^1 : dans ce cas-là (a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab - ab = 0 donc pas d'obstruction (le cup produit est anticommutatif en degré 1) et effectivement il y a la matrice I_2 + E_12 qui agit sur R^2/Z^2 = S^1 x S^1 qui réalise ce truc là
Merci pour le problème, c'était intéressant
ça remonte un peu le niveau
La cohomologie de S^2 x S^2, par Künneth, c'est une algèbre sur deux générateurs de degré 2, a et b, avec a^2 = 0, b^2 = 0, ab = c un générateur du H^4.
Supposons qu'on ait un automorphisme S^2 x S^2 dans lui-même qui envoie la première sphère sur la diagonale. Par dualité de Poincaré, ça veut dire que ça envoie (par exemple) a sur (a+b) et b sur autre chose. Existe-t-il un tel automorphisme ?
Non car (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab (en degré 2 le cup produit est commutatif) = 2ab = 2c != 0. Donc on ne peut pas envoyer a sur a+b.
C'est amusant parce qu'on voit pourquoi c'est possible pour S^1 x S^1 : dans ce cas-là (a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab - ab = 0 donc pas d'obstruction (le cup produit est anticommutatif en degré 1) et effectivement il y a la matrice I_2 + E_12 qui agit sur R^2/Z^2 = S^1 x S^1 qui réalise ce truc là
Merci pour le problème, c'était intéressant
Je crois qu'il n'y a pas de tel automorphisme, en regardant son action sur l'algèbre de cohomologie.
La cohomologie de S^2 x S^2, par Künneth, c'est une algèbre sur deux générateurs de degré 2, a et b, avec a^2 = 0, b^2 = 0, ab = c un générateur du H^4.
Supposons qu'on ait un automorphisme S^2 x S^2 dans lui-même qui envoie la première sphère sur la diagonale. Par dualité de Poincaré, ça veut dire que ça envoie (par exemple) a sur (a+b) et b sur autre chose. Existe-t-il un tel automorphisme ?
Non car (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab (en degré 2 le cup produit est commutatif) = 2ab = 2c != 0. Donc on ne peut pas envoyer a sur a+b.
C'est amusant parce qu'on voit pourquoi c'est possible pour S^1 x S^1 : dans ce cas-là (a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab - ab = 0 donc pas d'obstruction (le cup produit est anticommutatif en degré 1) et effectivement il y a la matrice I_2 + E_12 qui agit sur R^2/Z^2 = S^1 x S^1 qui réalise ce truc là
Merci pour le problème, c'était intéressant
ça remonte un peu le niveau
La cohomologie de S^2 x S^2, par Künneth, c'est une algèbre sur deux générateurs de degré 2, a et b, avec a^2 = 0, b^2 = 0, ab = c un générateur du H^4.
Supposons qu'on ait un automorphisme S^2 x S^2 dans lui-même qui envoie la première sphère sur la diagonale. Par dualité de Poincaré, ça veut dire que ça envoie (par exemple) a sur (a+b) et b sur autre chose. Existe-t-il un tel automorphisme ?
Non car (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab (en degré 2 le cup produit est commutatif) = 2ab = 2c != 0. Donc on ne peut pas envoyer a sur a+b.
C'est amusant parce qu'on voit pourquoi c'est possible pour S^1 x S^1 : dans ce cas-là (a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab - ab = 0 donc pas d'obstruction (le cup produit est anticommutatif en degré 1) et effectivement il y a la matrice I_2 + E_12 qui agit sur R^2/Z^2 = S^1 x S^1 qui réalise ce truc là
Merci pour le problème, c'était intéressant
Pourrait-on utiliser cet argument pour S⁵ ?
Comme pour S² x S², la cohomologie de S⁵ x S⁵ est engendré par deux éléments a et b de degré 5, avec a²=b²=0 et ab un générateur en degré 10, le produit cup a+b serait en degré 10, et comme il n’y a pas de classes intermédiaires (en degrés inférieurs à 10 autres que 0 ou 5), on ne devrait pas rencontrer d'obstructions.
Comme pour S² x S², la cohomologie de S⁵ x S⁵ est engendré par deux éléments a et b de degré 5, avec a²=b²=0 et ab un générateur en degré 10, le produit cup a+b serait en degré 10, et comme il n’y a pas de classes intermédiaires (en degrés inférieurs à 10 autres que 0 ou 5), on ne devrait pas rencontrer d'obstructions.
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Pourrait-on utiliser cet argument pour S⁵ ?
Comme pour S² x S², la cohomologie de S⁵ x S⁵ est engendré par deux éléments a et b de degré 5, avec a²=b²=0 et ab un générateur en degré 10, le produit cup a+b serait en degré 10, et comme il n’y a pas de classes intermédiaires (en degrés inférieurs à 10 autres que 0 ou 5), on ne devrait pas rencontrer d'obstructions.
Comme pour S² x S², la cohomologie de S⁵ x S⁵ est engendré par deux éléments a et b de degré 5, avec a²=b²=0 et ab un générateur en degré 10, le produit cup a+b serait en degré 10, et comme il n’y a pas de classes intermédiaires (en degrés inférieurs à 10 autres que 0 ou 5), on ne devrait pas rencontrer d'obstructions.