Question : est-ce qu'il existe un automorphisme α : S² x S² -> S² x S² tel que pour x0 ∈ S² et pour tout x ∈ S² on ait α(x, x0) = (x, x) ?
Je comprends que si l'on avait avait un groupe de Lie alors ça existerait : (x, y) ↦ (x, x + y), mais S^2 n'est pas une variété différentielle d'un groupe de Lie donc ça ne fonctionne pas dans ce cas.
Une autre idée que je n'ai pas vérifié est de voir si S² x S² \ S² x {x0} est difféomorphe à S² x S² \ {(x, x) : x ∈ S²}.
Pour l'instant, je sais seulement que ces espaces sont équivalent homotopiquement à S².
@PatrickSebasti1
Je comprends que si l'on avait avait un groupe de Lie alors ça existerait : (x, y) ↦ (x, x + y), mais S^2 n'est pas une variété différentielle d'un groupe de Lie donc ça ne fonctionne pas dans ce cas.
Une autre idée que je n'ai pas vérifié est de voir si S² x S² \ S² x {x0} est difféomorphe à S² x S² \ {(x, x) : x ∈ S²}.
Pour l'instant, je sais seulement que ces espaces sont équivalent homotopiquement à S².
@PatrickSebasti1
Rien compris Jean-Grothendieck
Vous devez être au niveau
pour voir ce message.
les maths sont tabou maintenant ?
Oui
Celui qui prétend être dans la lumière tout en haïssant son frère est encore dans les ténèbres
Oui
lequel ?
Rien compris
lequel ?
Oui
Celui qui prétend être dans la lumière tout en haïssant son frère est encore dans les ténèbres
Question : est-ce qu'il existe un automorphisme α : S² x S² -> S² x S² tel que pour x0 ∈ S² et pour tout x ∈ S² on ait α(x, x0) = (x, x) ?
Je comprends que si l'on avait avait un groupe de Lie alors ça existerait : (x, y) ↦ (x, x + y), mais S^2 n'est pas une variété différentielle d'un groupe de Lie donc ça ne fonctionne pas dans ce cas.
Une autre idée que je n'ai pas vérifié est de voir si S² x S² \ S² x {x0} est difféomorphe à S² x S² \ {(x, x) : x ∈ S²}.
Pour l'instant, je sais seulement que ces espaces sont équivalent homotopiquement à S².
@PatrickSebasti1
Je comprends que si l'on avait avait un groupe de Lie alors ça existerait : (x, y) ↦ (x, x + y), mais S^2 n'est pas une variété différentielle d'un groupe de Lie donc ça ne fonctionne pas dans ce cas.
Une autre idée que je n'ai pas vérifié est de voir si S² x S² \ S² x {x0} est difféomorphe à S² x S² \ {(x, x) : x ∈ S²}.
Pour l'instant, je sais seulement que ces espaces sont équivalent homotopiquement à S².
@PatrickSebasti1
⇝⇝⇝⇝⇝⇝⇝⇝⇝ Mieux vaut être raciste que mort ⇜⇜⇜⇜⇜⇜⇜⇜⇜⇜⇜ ONE TWO THREE NIKE L'ALGERIE
je ne t'ai rien demandé
je n'ai pas de comptes sur jvc
je n'ai pas de comptes sur jvc
Je crois qu'il n'y a pas de tel automorphisme, en regardant son action sur l'algèbre de cohomologie.
La cohomologie de S^2 x S^2, par Künneth, c'est une algèbre sur deux générateurs de degré 2, a et b, avec a^2 = 0, b^2 = 0, ab = c un générateur du H^4.
Supposons qu'on ait un automorphisme S^2 x S^2 dans lui-même qui envoie la première sphère sur la diagonale. Par dualité de Poincaré, ça veut dire que ça envoie (par exemple) a sur (a+b) et b sur autre chose. Existe-t-il un tel automorphisme ?
Non car (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab (en degré 2 le cup produit est commutatif) = 2ab = 2c != 0. Donc on ne peut pas envoyer a sur a+b.
C'est amusant parce qu'on voit pourquoi c'est possible pour S^1 x S^1 : dans ce cas-là (a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab - ab = 0 donc pas d'obstruction (le cup produit est anticommutatif en degré 1) et effectivement il y a la matrice I_2 + E_12 qui agit sur R^2/Z^2 = S^1 x S^1 qui réalise ce truc là
Merci pour le problème, c'était intéressant
ça remonte un peu le niveau
La cohomologie de S^2 x S^2, par Künneth, c'est une algèbre sur deux générateurs de degré 2, a et b, avec a^2 = 0, b^2 = 0, ab = c un générateur du H^4.
Supposons qu'on ait un automorphisme S^2 x S^2 dans lui-même qui envoie la première sphère sur la diagonale. Par dualité de Poincaré, ça veut dire que ça envoie (par exemple) a sur (a+b) et b sur autre chose. Existe-t-il un tel automorphisme ?
Non car (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab (en degré 2 le cup produit est commutatif) = 2ab = 2c != 0. Donc on ne peut pas envoyer a sur a+b.
C'est amusant parce qu'on voit pourquoi c'est possible pour S^1 x S^1 : dans ce cas-là (a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab - ab = 0 donc pas d'obstruction (le cup produit est anticommutatif en degré 1) et effectivement il y a la matrice I_2 + E_12 qui agit sur R^2/Z^2 = S^1 x S^1 qui réalise ce truc là
Merci pour le problème, c'était intéressant
Je crois qu'il n'y a pas de tel automorphisme, en regardant son action sur l'algèbre de cohomologie.
La cohomologie de S^2 x S^2, par Künneth, c'est une algèbre sur deux générateurs de degré 2, a et b, avec a^2 = 0, b^2 = 0, ab = c un générateur du H^4.
Supposons qu'on ait un automorphisme S^2 x S^2 dans lui-même qui envoie la première sphère sur la diagonale. Par dualité de Poincaré, ça veut dire que ça envoie (par exemple) a sur (a+b) et b sur autre chose. Existe-t-il un tel automorphisme ?
Non car (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab (en degré 2 le cup produit est commutatif) = 2ab = 2c != 0. Donc on ne peut pas envoyer a sur a+b.
C'est amusant parce qu'on voit pourquoi c'est possible pour S^1 x S^1 : dans ce cas-là (a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab - ab = 0 donc pas d'obstruction (le cup produit est anticommutatif en degré 1) et effectivement il y a la matrice I_2 + E_12 qui agit sur R^2/Z^2 = S^1 x S^1 qui réalise ce truc là
Merci pour le problème, c'était intéressant
ça remonte un peu le niveau
La cohomologie de S^2 x S^2, par Künneth, c'est une algèbre sur deux générateurs de degré 2, a et b, avec a^2 = 0, b^2 = 0, ab = c un générateur du H^4.
Supposons qu'on ait un automorphisme S^2 x S^2 dans lui-même qui envoie la première sphère sur la diagonale. Par dualité de Poincaré, ça veut dire que ça envoie (par exemple) a sur (a+b) et b sur autre chose. Existe-t-il un tel automorphisme ?
Non car (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab (en degré 2 le cup produit est commutatif) = 2ab = 2c != 0. Donc on ne peut pas envoyer a sur a+b.
C'est amusant parce qu'on voit pourquoi c'est possible pour S^1 x S^1 : dans ce cas-là (a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab - ab = 0 donc pas d'obstruction (le cup produit est anticommutatif en degré 1) et effectivement il y a la matrice I_2 + E_12 qui agit sur R^2/Z^2 = S^1 x S^1 qui réalise ce truc là
Merci pour le problème, c'était intéressant
Pourrait-on utiliser cet argument pour S⁵ ?
Comme pour S² x S², la cohomologie de S⁵ x S⁵ est engendré par deux éléments a et b de degré 5, avec a²=b²=0 et ab un générateur en degré 10, le produit cup a+b serait en degré 10, et comme il n’y a pas de classes intermédiaires (en degrés inférieurs à 10 autres que 0 ou 5), on ne devrait pas rencontrer d'obstructions.
Comme pour S² x S², la cohomologie de S⁵ x S⁵ est engendré par deux éléments a et b de degré 5, avec a²=b²=0 et ab un générateur en degré 10, le produit cup a+b serait en degré 10, et comme il n’y a pas de classes intermédiaires (en degrés inférieurs à 10 autres que 0 ou 5), on ne devrait pas rencontrer d'obstructions.