Toute 3-variété compacte, sans bord et simplement connexe est-elle homéomorphe à la 3-sphère?

Répondez à cette question en détaillant précisément votre raisonnement

Chaud
Donne le théorème de pythagore généralisé maintenant

Ton raisonnement manque de détail

si on fait un dessin on voit bien que oui

Est-elle 1/2-Hölderienne nonobstant?

Comment tu dessines des 3-variétés au juste?

bah sur une feuille, au crayon, c'est pas forcément beaucoup plus compliqué que les 2-variétés, ça demande juste de la technique, c'est ça qu'il a fait Gégoire l'homme sirop de poire

Oui.
Ça a déjà été prouvé, c'est la conjecture du Poincaré.
https://fr.m.wikipedia.or[...]njecture_de_Poincar%C3%A9

Tu prends une 2-variété et tu l'élèves.

3-variété = 4 dimensions non?

Je veux la démonstration

Ce serait apparemment très dur de poser le même problème pour des équivalents en quatre dimensions, mais peut-être justement car on ne peut pas la modéliser dans l'espace.

Chaud le desco
Moi j'ai eu 19/20 en maths hihi (je suis redalert2)
et j'ai eu 18/20 au bac blanc de physique chimie aussi

oui, bah t'arrives à dessiner des 2-variétés sur un plan alors que tu descends d'une dimension, les 3-variétés c'est pas beaucoup plus difficile

3-sphère = sphère en 4 dimensions, c'est le sujet du problème

Oui maintenant que tu le dis

1. Introduction
Dans ce chapitre, on pr´esente bri`evement l’histoire de la th´eorie du flot de
Ricci et le sch´ema de preuve de la conjecture de Poincar´e. On tentera dans les
chapitres suivants de raconter les ´episodes les plus marquants. La conjecture de
Poincar´e, formul´ee en 1904 dans [24], s’´enonce aujourd’hui de la mani`ere suivante.
Rappelons qu’une vari´et´e M est simplement connexe si tout lacet continu S1 → M
est continˆument d´eformable en un point.
Conjecture 1.1 (Poincar´e, 1904). Soit M une vari´et´e compacte de dimension 3,
simplement connexe, alors M est hom´eomorphe `a la sph`ere S3.
Cette question, `a l’origine purement topologique, s’est r´ev´el´ee extraordinairement difficile et a stimul´e les recherches sur la classification des vari´et´es de
dimension 3. Depuis les ann´ees 70, beaucoup de progr`es ont ´et´e faits dans la
compr´ehension des liens entre la topologie d’une vari´et´e et les g´eom´etries qu’elle
peut porter. Le Graal poursuivi par les math´ematiciens de ce domaine est la conjecture de g´eom´etrisation, qui affirme que toute vari´et´e compacte de dimension 3
admet une d´ecomposition canonique en morceaux fondamentaux admettant une
m´etrique homog`ene, c’est-`a-dire une m´etrique telle que deux points quelconques
ont des voisinages isom´etriques (voir l’article de M. Anderson [1] dans un pr´ec´edent
num´ero de la Gazette et celui de John Milnor [22]). En dimension 3, il n’y a que
8 m´etriques homog`enes et parmi elles, 3 de courbure sectionnelle constante. Pour
les lecteurs peu familiers de la g´eom´etrie riemannienne, rappelons que si M est
munie d’une m´etrique riemannienne g, c’est-`a-dire de la donn´ee en chaque point
x de M d’un produit scalaire gx sur l’espace tangent TxM, on associe `a chaque
1 Institut Fourier, Universit´e Joseph Fourirer, 38402 Saint-Martin d’H`eres. E-mail : laurent.
[email protected]
Epreuve Gazette
date : 3/10/2005
4 L. BESSIERES `
plan vectoriel P de TxM un nombre K(P) qu’on appelle courbure sectionnelle de
P. La notion de courbure sectionnelle g´en´eralise la courbure de Gauss des surfaces
plong´ees dans R3. On reviendra sur les diverses notions de courbure et leur signification g´eom´etrique au d´ebut de la section 2. Le point fondamental est qu’un
espace o`u la courbure sectionnelle est constante, c’est-`a-dire K = −1, 0 ou 1 si on
normalise, est localement isom´etrique `a l’espace hyperbolique, `a l’espace euclidien
ou `a la sph`ere ronde. Si de plus l’espace est suppos´e simplement connexe, on a
une isom´etrie globale. On peut donc reformuler la conjecture de Poincar´e comme
un probl`eme g´eom´etrique :
Conjecture 1.2. Soit M une vari´et´e compacte, de dimension 3, simplement
connexe, alors M peut ˆetre munie d’une m´etrique de courbure sectionnelle
constante strictement positive.
On attend la mˆeme conclusion sous l’hypoth`ese de finitude du groupe fondamental et on appelle cela la conjecture d’elliptisation. C’est un cas particulier de la
conjecture de g´eom´etrisation.
Maintenant, pour munir une vari´et´e de la m´etrique la plus jolie, une id´ee naturelle et qui peut sembler na¨ıve au premier abord consiste `a partir d’une m´etrique
quelconque et `a la d´eformer pour lui donner le plus possible de sym´etrie ou d’homog´en´eit´e. Suivant cette id´ee, en 1982, Richard Hamilton [13] a introduit l’´equation
du flot de Ricci
(1) ∂g
∂t = −2 Ricg(t),
o`u g(t) est une famille de m´etriques riemanniennes sur une vari´et´e donn´ee et
Ricg la courbure de Ricci associ´ee `a la m´etrique g. Cette courbure contient moins
d’information que la courbure sectionnelle en g´en´eral, mais autant en dimension 3.
C’est une forme bilin´eaire sym´etrique sur chaque espace tangent, donc de mˆeme
nature que la m´etrique. L’´equation (1) fait donc sens. En coordonn´ees on peut voir
que c’est une ´equation du type ´equation de la chaleur. Son but est d’homog´en´eiser
les courbures. On peut v´erifier facilement que les m´etriques de courbure de Ricci
constante — c’est-`a-dire de valeurs propres ´egales et constantes sur la vari´et´e
soit Ricg = λg pour λ ∈ R — ´evoluent homoth´etiquement le long de ce flot (voir
l’exemple 2.1 page 9). On revient dans la section 2 sur d’autres motivations de cette
´equation. Enon¸ ´ cons bri`evement ce qu’Hamilton a pu faire avec ce flot et ce qu’il
aurait aim´e pouvoir faire. Dans [13] Hamilton d´emontre l’existence de solutions de
l’´equation (1) (appel´ees flots de Ricci) en temps petit pour toute donn´ee initiale.
Ensuite il ´etablit pour l’op´erateur de courbure Rm :
– une version alg´ebrique des courbures sectionnelles ;
– une ´equation d’´evolution de la forme ∂ Rm
∂t = ∆ Rm+Q(Rm) o`u Q est une
expression quadratique.
En utilisant des principes du maximum, il montre que la positivit´e de la courbure de
Ricci est pr´eserv´ee par le flot en dimension 3, et celle de l’op´erateur de courbure l’est
en toute dimension. De plus, la courbure scalaire — une fonction sur la vari´et´e qu’on
obtient en diagonalisant Ricg (x) dans une base orthonorm´ee de gx et en sommant
les valeurs propres — a un minimum croissant en toute dimension. En g´en´eral, la
courbure a tendance `a tendre (on dira exploser) vers +∞ en au moins un point. Si
la courbure de Ricci est strictement positive, la courbure scalaire explose en tout

C'est quoi ce charabia?

Non.
En mathématiques, une 3-variété est une variété de dimension 3, au sens des variétés topologiques, PL (en) ou différentielles (en dimension 3, ces catégories sont équivalentes).
https://fr.m.wikipedia.or[...]/wiki/3-vari%C3%A9t%C3%A9