[Officiel] Le blabla des Onchois et des Sardinonches

Mon plus gros post c'est 5992 caractères en réponse à Popa

Mon plus gros post c'est 5992 caractères en réponse à Popa

Mon plus gros post c'est 5992 caractères en réponse à Popa

L’ubiquité du nombre Pi ne cesse d’étonner. Récemment encore, il est apparu là où personne ne s’attendait à le trouver : dans un système simple de collisions, dans la conjecture de Syracuse, dans le jeu de la vie...

Une première version de cet article est parue dans la rubrique « Logique et calcul » de la revue Pour la Science, n°464, en juin 2016.

L’ubiquité est « le fait d’être présent partout à la fois ou en plusieurs lieux en même temps. » De tous les nombres, π est celui qui jouit le plus spectaculairement de cette propriété : on le rencontre sans cesse en mathématiques et en physique. L’une des conséquences de cette ubiquité est qu’on découvre encore de nouvelles façons de calculer π. Il est devenu difficile de battre les formules qui évaluent très vite ce nombre, parce que les meilleures méthodes connues résultent de recherches approfondies, qu’elles sont d’une grande subtilité, et qu’elles sont d’une époustouflante efficacité.

Aujourd’hui, le record de calcul donne 22 459 milliards de décimales de π (voir les derniers records) et se fonde sur plusieurs formules, telle celle-ci, due aux frères David et Gregory Chudnowsky : le record de calcul donne

formule-chudnowsky

Bien que ne pouvant entrer en concurrence avec cette extraordinaire formule (en se limitant au terme k = 0, on trouve π = 3,1415926535897342…, ce qui est correct jusqu’au 14e chiffre), nous allons, pour le défi, la beauté ou même l’amusement et l’étonnement, présenter quelques-unes des étranges nouvelles méthodes de calcul de π.

Commençons par les méthodes utilisant des procédés physiques. La méthode de Monte-Carlo pour calculer π se fonde sur un principe très simple : la surface d’un disque de rayon r est πr2. Elle permet d’obtenir expérimentalement quelques décimales de π. On fait tomber au hasard des grains de sable sur un carré de côté r ; si les grains le recouvrent uniformément, la proportion de grains tombés dans le quart de disque de rayon r donne une valeur approchée de π/4 : la superficie du carré est r2, celle du quart de disque est πr2/4, donc le rapport est π/4 (voir l’encadré ci-après).

Calculer π par des moyens physiques insoupçonnés

Si par exemple on lâche 1 000 grains de sable et qu’il y en a 780 qui tombent dans le quart de disque, cela donne l’approximation

π = 4 × 780/1 000 = 3,12. En pratique, cette méthode souffre d’un grave défaut : elle suppose que l’on sache disposer des grains de sable uniformément sur le carré. Or en les lançant vers le centre, par exemple, les grains de sable auront une distribution plus dense vers le centre et plus éparse sur les bords. Le calcul sera faussé !

Il existe cependant des méthodes statistiques permettant de corriger cette non-uniformité. L’une d’elles consiste à compter le nombre de grains en affectant à chaque grain P un coefficient inversement proportionnel au nombre de grains situés dans un petit cercle autour de P. Les grains situés dans une zone dense sont ainsi comptés moins, ce qui corrige la non-uniformité.

Vincent Dumoulin et Félix Thouin, de l’université de Montréal, ont utilisé une méthode de ce type en tirant sur une cible distante de 20 mètres avec un fusil. Les expérimentateurs ont ainsi créé 30 857 trous dans la cible. Le calcul, avec correction de la non-uniformité, a donné π = 3,131, ce qui correspond à une erreur de 0,3 %.

La méthode des aiguilles de Buffon est un autre moyen de tirer de la physique des valeurs approchées de π. On lance n aiguilles de longueur L, sur un parquet dont la largeur des lattes est L ; on compte le nombre k d’aiguilles coupant les lignes parallèles de jonction entre lattes ; le quotient 2n/k est une valeur approchée de π. Cette méthode est très classique aussi nous n’y reviendrons pas. D’ailleurs, comme celle des coups de fusil, elle ne donnera jamais plus de quatre décimales exactes de π.

Le nombre de chocs avec deux billes et un mur

Plus intéressante et surprenante est la méthode physique proposée par Gregory Galperin, de l’université de l’Illinois. Elle n’utilise que des chocs entre billes qui suivent les lois de la physique classique et produisent les décimales de π les unes après les autres. Non seulement le dispositif imaginé donne π, mais il le donne écrit en base 10, et cela sans qu’aucun calculateur mécanique ou électronique ne soit mêlé à l’affaire.

Par rapport à celle de Buffon et du fusil, la méthode de Galperin a l’avantage que le hasard n’intervient pas et que le procédé déterministe de calcul de π donne donc, non pas une approximation de π, mais exactement les premiers chiffres de π… pour peu que le dispositif matériel soit exactement conforme au modèle théorique.

Pour comprendre cette méthode, commençons par le cas le plus simple. On considère deux billes A et B de même masse exactement (en fait, des masses ponctuelles, la rondeur des billes ne joue aucun rôle). La bille A est immobile à une distance L d’un mur plat M. On lance la bille B perpendiculairement au mur M dans la direction de A. Elle cogne la bille A de façon parfaitement élastique (conservation de l’énergie cinétique et de la quantité de mouvement). La bille B s’immobilise donc, et A part vers le mur M avec la vitesse qu’avait B et qu’elle lui a transmise. La bille A cogne le mur. On suppose à nouveau que le choc est parfaitement élastique. Elle rebondit, et repart vers B, toujours avec la même vitesse. La bille A cogne B, A s’immobilise et B repart en s’éloignant du mur indéfiniment. On suppose qu’il n’y a pas de frottement. Il y a eu trois chocs : deux entre les billes A et B et un entre la bille A et le mur. Le chiffre 3 est le premier de π. Ce n’est pas un hasard !

Si maintenant on refait l’expérience avec une bille B dont la masse est 100 fois celle de A (toujours en supposant des chocs parfaitement élastiques), le schéma des collisions est plus compliqué. Avant que B et A ne se séparent définitivement, le nombre de chocs entre A et B et de la bille A avec le mur est 31. Ce sont les deux premiers chiffres décimaux de π. Plus généralement, si le rapport des masses entre B et A est 102n, alors le nombre de chocs donnera exactement les n + 1 premiers chiffres décimaux de π. Ainsi, pour un rapport de masse de 10 000, il y a 314 chocs ; pour un rapport 1 000 000, il y a 3 141 chocs ; etc.

Une belle méthode, mais sans intérêt pratique

Pour les premières valeurs de n, on peut écrire de petits programmes qui confirment les affirmations indiquées. Le résultat général est cependant démontré de manière parfaitement rigoureuse (voir la bibliographie). Il nécessite juste une petite hypothèse : les 2n premiers chiffres de π ne doivent pas se terminer par n – 1 fois le chiffre 9. On sait que c’est vrai pour n plus petit que 11 229 000 000 000, puisqu’on connaît explicitement les décimales de π, mais pour n tendant vers l’infini, nul ne sait le démontrer. Cette propriété est jugée plus que probable, mais elle reste inaccessible à nos techniques de preuve.

La méthode est magnifique et a étonné les spécialistes des systèmes dynamiques, qui n’imaginaient pas que π soit présent dans des dispositifs aussi élémentaires.

Sur le plan pratique, la méthode est cependant d’un intérêt limité. Comment ajuster les masses de A et de B avec la précision exigée ? On ne peut espérer faire beaucoup plus que le nombre d’Avogadro, soit environ 1024, ce qui ne donnera que 12 décimales, et les autres mesures sont à l’avenant. Comment être certain de lancer les billes perpendiculairement au mur avec toute l’exactitude nécessaire ? Comment s’assurer que les chocs soient parfaitement élastiques et qu’il n’y ait aucun frottement ?