i^i =/= -1
Nonbstant, log(-1) = log(i²) = 2[log(1)+iπ/2) = iπ.
Nonbstant, log(-1) = log(i²) = 2[log(1)+iπ/2) = iπ.
Bac +5, RSA mais je compte évoluer, bientôt l'AAH
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La question est :
Existe-il une fonction holomorphe définie sur C^*, qu’on noterait g et telle que
g(u v) = g(u) + g(v) pour u et v complexes
g(x) = log(x) pour tout réel positif x ?
Si ce n’est pas possible sur C^*, sur quel ensemble “maximal” on pourrait définir une telle fonction ? Qu’est-ce qui va bloquer en fait quand on va vouloir l’étendre à C^* en entier ?
Existe-il une fonction holomorphe définie sur C^*, qu’on noterait g et telle que
g(u v) = g(u) + g(v) pour u et v complexes
g(x) = log(x) pour tout réel positif x ?
Si ce n’est pas possible sur C^*, sur quel ensemble “maximal” on pourrait définir une telle fonction ? Qu’est-ce qui va bloquer en fait quand on va vouloir l’étendre à C^* en entier ?
Je dirais non, ce n'est pas le même log.
Je sais pas comment te le définir (je suis pas matheux de formation).
parce que le ln(x^(2)) = 2ln(x)
donc si x = -1 on aurait :
2*ln(-1) = 2*i pi
Mais aussi :
ln(1) = 0
on trahirait la propriété de ln(a^b) = b*ln(a), car dans le cas ci-dessus ln(a^b) =/= b*ln(a)
Donc ça ne peut pas être le même log. Je sais pas si j'ai été clair
Je sais pas comment te le définir (je suis pas matheux de formation).
parce que le ln(x^(2)) = 2ln(x)
donc si x = -1 on aurait :
2*ln(-1) = 2*i pi
Mais aussi :
ln(1) = 0
on trahirait la propriété de ln(a^b) = b*ln(a), car dans le cas ci-dessus ln(a^b) =/= b*ln(a)
Donc ça ne peut pas être le même log. Je sais pas si j'ai été clair
La question est :
Existe-il une fonction holomorphe définie sur C^*, qu’on noterait g et telle que
g(u v) = g(u) + g(v) pour u et v complexes
g(x) = log(x) pour tout réel positif x ?
Si ce n’est pas possible sur C^*, sur quel ensemble “maximal” on pourrait définir une telle fonction ? Qu’est-ce qui va bloquer en fait quand on va vouloir l’étendre à C^* en entier ?
Existe-il une fonction holomorphe définie sur C^*, qu’on noterait g et telle que
g(u v) = g(u) + g(v) pour u et v complexes
g(x) = log(x) pour tout réel positif x ?
Si ce n’est pas possible sur C^*, sur quel ensemble “maximal” on pourrait définir une telle fonction ? Qu’est-ce qui va bloquer en fait quand on va vouloir l’étendre à C^* en entier ?
Je ne pense pas que ça existe parce que les propriétés des log complexes font que log(uv) =/= logu + logv.
Bac +5, RSA mais je compte évoluer, bientôt l'AAH
Bah je n'en sais rien. Si mes souvenirs sont bons même les plus grands mathématiciens n'ont pas trouvé de fonction sur C qui satisfasse aux propriétés du logarithme.
Bac +5, RSA mais je compte évoluer, bientôt l'AAH
Vous avez tout à fait raison tous les deux, Recitasse et Musicien.
On ne peut pas “garder toutes les propriétés” du logarithme sur C / R - , mais on peut garder le fait qu’on ait une fonction holomorphe (complexe dérivable) de dérivée 1 / z, et comme elle coincide avec log sur R + qui est un intervalle, un théorème de maths nous dit que c’est la seule fonction holomorphe qui puisse “convenir”.
On ne peut pas “garder toutes les propriétés” du logarithme sur C / R - , mais on peut garder le fait qu’on ait une fonction holomorphe (complexe dérivable) de dérivée 1 / z, et comme elle coincide avec log sur R + qui est un intervalle, un théorème de maths nous dit que c’est la seule fonction holomorphe qui puisse “convenir”.
Vous avez tout à fait raison tous les deux, Recitasse et Musicien.
On ne peut pas “garder toutes les propriétés” du logarithme sur C / R - , mais on peut garder le fait qu’on ait une fonction holomorphe (complexe dérivable) de dérivée 1 / z, et comme elle coincide avec log sur R + qui est un intervalle, un théorème de maths nous dit que c’est la seule fonction holomorphe qui puisse “convenir”.
On ne peut pas “garder toutes les propriétés” du logarithme sur C / R - , mais on peut garder le fait qu’on ait une fonction holomorphe (complexe dérivable) de dérivée 1 / z, et comme elle coincide avec log sur R + qui est un intervalle, un théorème de maths nous dit que c’est la seule fonction holomorphe qui puisse “convenir”.
Quel théorème ?
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Bah justement, ce n'est pas un "vrai" logarithme car il n'existe pas de fonction univoque sur C qui satisfasse aux propriétés du log.
Bac +5, RSA mais je compte évoluer, bientôt l'AAH
Bah log(ab) = loga + logb déjà.
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Avec cette définition tu as log(-1)=i π.
Or log [(-1)(-1)] = log(1) = 0 mais log(-1) + log(-1) = 2iπ.
Donc log (ab) =/= loga + logb.
Or log [(-1)(-1)] = log(1) = 0 mais log(-1) + log(-1) = 2iπ.
Donc log (ab) =/= loga + logb.
Bac +5, RSA mais je compte évoluer, bientôt l'AAH
> SingeMagique
On ne peut pas définir le log sur tout C^* parce que si on intègres 1/z sur un cercle, on obtient 2 \pi. Embêtant dis-donc.
On doit donc retirer au moins une demi-droite au plan complexe.
Pour une droite(ou courbe d’indice zéro) tracée \gamma parametrée par [0, 1] et une fonction f de [0, 1] dans C , on peut définir un "logarithme" de f en considérant l'intégrale sur [0, x] de f' / f mais ca ne répond pas à la question. Je pense que c'est ce que tu voulais dire.
> Musicien
https://fr.wikipedia.org/wiki/Prolongement_analytique
Si g et h sont deux fonctions logarithmes HOLOMORPHES qui "conviennent", elles coincident sur R+* qui est un ouvert donc f = g.
On ne peut pas définir le log sur tout C^* parce que si on intègres 1/z sur un cercle, on obtient 2 \pi. Embêtant dis-donc.
Pour une droite(ou courbe d’indice zéro) tracée \gamma parametrée par [0, 1] et une fonction f de [0, 1] dans C , on peut définir un "logarithme" de f en considérant l'intégrale sur [0, x] de f' / f mais ca ne répond pas à la question. Je pense que c'est ce que tu voulais dire.
> Musicien
Si g et h sont deux fonctions logarithmes HOLOMORPHES qui "conviennent", elles coincident sur R+* qui est un ouvert donc f = g.
