spectre et objet initial

Le scope sylphe ?

au passage dans les espaces pointés t'as juste que Sigma est adjoint à gauche de Omega, mais c'est pas du tout une équivalence en général
une catégorie est stable précisément quand c'est une équivalence
enfin ça aurait pu être la déf
mais on a rajouté en plus "1 = 0" comme axiome (l'initial et le final c'est le même objet)
et là ça fait une catégorie "abélienne homotopique"

Ah au fait je parle de pullback et pushout au sens homotopique et non classique (c'est une def un peu différente, c'est dans des catégories de modèles, etc.)

si tu veux une idée de preuve juste en utilisant le fait que c'est des pushout/pullback :

Hom(Sigma X,Y)
= Hom(1 U\_X 1,Y) (<- ici A U\_C B c'est une notation pour le pushout d'un diagramme A <- C -> B)
~ Hom(1,Y) U\_Hom(X,Y) Hom(1,Y) (<- où ici l'application Hom(X,Y) -> Hom(1,Y) au-dessus de laquelle on fait le pushout ça prend f : Hom(X,Y) et ça lui associe l'élément f(x) dans Y en gros, vu comme une application 1 -> Y)
~ Hom(X,Y ×\_1 Y) (<- tout pareil A ×\_C B c'est le pullback A <- C -> B)
= Hom(X,Omega Y)

si t'as jamais trop manipulé les limites/colimites en catégories la preuve est insuivable, il faudrait que j'explique plein de trucs mdr