spectre et objet initial

Dans un spectre, la suite d'espaces pointés associée est générée par le smash produit avec S1 (S1 /\ X_n -> X_n+1) pour créer des suspensions itérés.
Ce genre de suite peut être vue comme une catégorie abelienne dans le sens où elle est suffisamment riche pour pouvoir faire de la cohomologie.

J'essaie de comprendre pourquoi le spectre de S est isomorphe à Z.
Comment identifie-t-on un spectre avec un groupe abelien ? Est-ce qu'on parle d'isormophisme parce que les groupes d'homotopies stables (qui sont eux bien des groupes abeliens) sur cette suite sont isomorphes à Z ?

Il y aurait l'idée que le spectre de S soit l'objet initial dans la catégorie des spectres de la même manière que Z l'est dans la catégorie des anneaux commutatifs.

Up

En fait c'est dans l'autre sens, à un groupe abélien G on peut lui associer un spectre HG, et celui associé à Z est isomorphe au spectre en sphères (HZ ~ S)

On a une notion de "d'infini-catégorie abélienne" mais ça s'appelle "infini-catégorie stable" et de même que la catégorie des groupes abéliens est "universelle" parmi les catégories abéliennes, la catégorie des spectres est "universelle" parmi les catégories stables.

Z vérifie une propriété universelle dans la catégorie des groupes abéliens, et le spectre en sphères vérifie l'analogue de cette propriété dans catégorie des spectres

si vous voulez une preuve du coup, sachant que le spectre associé à G c'est le spectre associé à l'espace pointé BG, quand vous prenez G = Z il faut se rappeler que BZ = S^1 et ça explique pourquoi HZ = S

pour un peu plus de détaills :

en fait à la base une catégorie stable c'est une catégorie qui a un objet 0 (i.e. un objet à la fois initial et final), des limites/colimites finies (pull-back et push-out quoi) et telle que tout carré qui est un pull-back est aussi un push-out (et inversement)

en particulier on prend un objet E et le diagramme : 0 <- E -> 0, son push-out (noté E[1]) c'est la suspension de E (c'est la définition de "suspension"), et comme le carré est un push-out c'est aussi un pull-back (car la catégorie est stable) mais on se rends compte que ça revient exactement à dire que la limite du diagramme 0 -> E[1] <- 0 (qui par définition est l'objet des lacets de E[1]) est E

bref on voit que dans toute catégorie stable on peut définir un foncteur suspension et un foncteur lacets et que l'hypothèse de stabilité dit exactement que ces deux foncteurs sont inverses l'un de l'autre

Bon ce sera tout pour aujourd'hui

Ça sert vraiment à quelque chose ce genre de trucs ?

Il faudra demander à la postérité

Je suis au ski aujourd'hui, je répondrai aux questions ce soir

D’accord Antoine Forum

Je ne suis pas Antoine. Je n'ai jamais fait de topics sur la génétique.

Si tu ne me crois toujours pas, envoie un message chiffré avec ma clé pgp dans ma bio à Antoine.

J'ajouterai également qu'Antoine n'a pas de connaissances en mathématiques

Pas de questions apparemment

J’étais aussi au ski, c’est quel niveau de maths ca ?

Probablement master/doctorat
Je n'ai jamais eu de cours d'homotopie stable

euh, faut le scope sylphe pour résoudre ton problème je crois