résultat surprenant groupes finis

bonjour chers onchoix, je me permets de partager un petit résultat relativement connu en théorie des groupes finis que j'ai appris récemment

Choisissez deux éléments aléatoirement dans un groupe fini. Quelle est la probabilité qu'ils commutent ? Si elle dépasse 5/8, alors le groupe est nécessairement abélien.

Je publierai la démonstration dans la journée

Soit g un élément de G et C(g) son centraliseur (la partie de G dont les éléments commutent avec g). On s'intéresse à la cardinalité de C(g). Si g est dans le centre de G, alors C(g) = G. Supposons donc que g ne le soit pas et essayons d'évaluer |C(g)|/|G|.
On peut vérifier facilement que C(g) est un sous-groupe de G et en utilisant le théorème de Lagrange on sait que |C(g)|/|G| est un entier: s'il est égal à 1, tous les éléments commutent avec g. Peut-on trouver un élément d'un groupe fini avec exactement 1/2 des éléments de ce groupe ? Oui! le groupe des quaternions par exemple! chaque élément (non-central) commute avec exactement la moitié des éléments. Par exemple i commute seulement avec ses puissances: 1, i, -1, -i. On a donc un groupe fini non abélien avec 1/4 de ses éléments dans le centre. En fait, c'est la part maximum d'éléments que l'on peut avoir dans le centre d'un groupe fini non abélien.

Soient g, h deux éléments dans G. Il y a deux cas possibles. Si g est dans le centre de G, alors il commute avec h avec une probabilité égale à 1. Si g n'est pas dans le centre de G, alors il commute avec h avec une probabilité égale à <= 1/2

On a vu que |Z|/|G| <= 4 (avec Z le centre de G). g commute donc avec tous les éléments de de G (avec une probabilité 1/4) et commute avec 1/2 des éléments de G (avec une probabilité de 3/4).
La probabilité que g commute avec h est donc : 1/4 + 3/4 * 2 = 2/8 + 3/8 = 5/8.

je confirme

Totalement

Ouais enfin t'as pas énoncé toutes les hypothèses, ce serait trop simple...

ça ne finit pas ici, les propositions suivantes sont équivalentes.

Soit G un groupe fini et g h deux éléments de G.
- la probabilité que g commute avec h est 5/8
- le groupe des automorphismes intérieur de G a 4 éléments, en particulier il est isomorphe à Z/2 * Z/2

ah bon ? qu'est-ce que j'ai manqué ?

Non j'en sais foutrement rien, je ne sais même pas ce qu'est un groupe abelien

c'est un groupe où tous les éléments commutent entre eux selon la loi de composition interne

Super, donne nous un exemple maintenant parce-que je comprends pas à quoi ça pourrait servir

Toutes ces bornes sont atteintes par le groupe des quaternions (non abélien).

Je peux expliquer les parties que tu ne comprends pas

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