On pose N = 100 ; et on tire des nombres au hasard entre 1 et 100 (comprendre : selon la loi uniforme sur [1, 100] ). On les note X(1), X(2), X(3), ...
Je pose S(n) = X(1) + X(2) + ... + X(n) et je note T le nombre minimal de X(i) que je dois additionner en parlant de X(1) pour que leur somme dépasse 100. En gros, T = minimum { n , S(n) > 100 } . Par exemple si X(1) = 14, X(2) = 35, X(3) = 22, X(4) = 71, S(3) = 14 + 35 + 22 = 71 < 100, S(4) = 142 >= 100 donc T vaut 4 pour ce tirage.
Je demande quelle est la valeur moyenne de T ? Que vaut E [T] ?
À votre avis, combien de fois je vais devoir tirer de nombres pour que leur somme dépasse 100 ? Trois, quatre, entre trois et quatre ? Trois et demi ? Trois et trois quart ?
Solution :
Je pose S(n) = X(1) + X(2) + ... + X(n) et je note T le nombre minimal de X(i) que je dois additionner en parlant de X(1) pour que leur somme dépasse 100. En gros, T = minimum { n , S(n) > 100 } . Par exemple si X(1) = 14, X(2) = 35, X(3) = 22, X(4) = 71, S(3) = 14 + 35 + 22 = 71 < 100, S(4) = 142 >= 100 donc T vaut 4 pour ce tirage.
Je demande quelle est la valeur moyenne de T ? Que vaut E [T] ?
À votre avis, combien de fois je vais devoir tirer de nombres pour que leur somme dépasse 100 ? Trois, quatre, entre trois et quatre ? Trois et demi ? Trois et trois quart ?
On va plutôt faire une modélisation continue : je tire des X(i), uniformément et avec la loi U( [0, 1] ) et je cherche T = minimum { n, S(n) > 1 } ; on s’y ramène en posant Z(i) = X(i) / 100
Solution :
Grâce à la modélisation continue on obtient E [T ] = e = 2.718281828 la base du logarithme. Cela nous donne une valeur moyenne atteinte par S(n) ( qu'on note S(T) ) de e / 2 donc dans notre cas continue de 271.8 / 2 soit environ 135.
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Si la moyenne des X(i) est 50 , je dois donc tirer deux X(i) pour dépasser 100, en moyenne.
ISSSSSSSE pas du tout.
J'essaye ça ce soir, je suis concentré sur mon drone en ce moment. JE me met un post it
je reviendrai plus tard.
Pour T'(1) = 0% de chance vu qu'il y a que des nombres de 1 à 100
Pour T(2) = toutes les combinaisons qui dépassent 100 avec 2 parmi 100 éléments, donc sur 4950 combinaisons, 2/3 dépassent 100 = 66%
Pour T(3), on arrive quasiment a 100% vu le nombre de combinaisons possibles qui dépassent 100
Edit : ah ok en fait c'est ce qu'on obtient en moyenne des tirages, bon j'avoue j'ai pas fait maths sup
Pour T(2) = toutes les combinaisons qui dépassent 100 avec 2 parmi 100 éléments, donc sur 4950 combinaisons, 2/3 dépassent 100 = 66%
Pour T(3), on arrive quasiment a 100% vu le nombre de combinaisons possibles qui dépassent 100
Edit : ah ok en fait c'est ce qu'on obtient en moyenne des tirages, bon j'avoue j'ai pas fait maths sup
Cela est arrivé
Indice : on se place dans le cas continu. Fixons un y dans ]0, 1[. Je note G_n(y) = P(S(n) < y) . Calculer G_n( y) en remarquant que G_n(y) = P( S(n-1) + X(n) < y). On trouve sans trop de soucis que G_n(y) = y^n/n! .
Je vais faire ça de façon bourrine.
~2.71
~2.71
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Connectez-vous pour masquer les pubsIndice : on se place dans le cas continu. Fixons un y dans ]0, 1[. Je note G_n(y) = P(S(n) < y) . Calculer G_n( y) en remarquant que G_n(y) = P( S(n-1) + X(n) < y). On trouve sans trop de soucis que G_n(y) = y^n/n! .
Pour se faire on remarque que G_n(y) c'est l'intégrale de 0 à 1 de G_{n-1} (y-t) d t (conditionnement par X(n) = t et indépendance de S(n-1) et X(n) ) , et cherchons une fonction G_n(y) de la forme K(n) . y^{P(n) } ; avec la relation de récurrence nous obtenons K (n) = 1/n!, P(n) = n avec la condition initiale vu que G_1(y) = y. Maintenant on peut en déduire P ( T = n ) = 1 / (n-1)! - 1/n! et des manipulations élémentaires sur les séries nous amènent à E [ T ]
= e .
Pour aller plus loin, je pense que si on fixe a > 1 et T(a) = inf { n , S(n) > a } ( toujours dans le cas continu avec des U(i) i.i.d. selon U([0, 1] ) ) et qu'on pose B(a) = E T(a) alors B'(a) = B(a) - B(a-1) et B(1) = e. C'est une équa diff retardé qui n'a pas de solution explicite sauf quand a <= 1.
= e .
Pour aller plus loin, je pense que si on fixe a > 1 et T(a) = inf { n , S(n) > a } ( toujours dans le cas continu avec des U(i) i.i.d. selon U([0, 1] ) ) et qu'on pose B(a) = E T(a) alors B'(a) = B(a) - B(a-1) et B(1) = e. C'est une équa diff retardé qui n'a pas de solution explicite sauf quand a <= 1.
Doublon, supprime modo.
Au collège je n'ai pas eu de cours de maths pendant deux ans.
Car mon prof de sixième est parti en retraite sans être remplacé, ma prof de quatrième est tombé enceinte et n'a pas été remplacé, ma prof de troisième a démissionné et a été remplacé par une prof d'histoire/géo qui n'aimait pas trop les maths..
Voilà ce que c'est les écoles dans les quartiers GR..
Car mon prof de sixième est parti en retraite sans être remplacé, ma prof de quatrième est tombé enceinte et n'a pas été remplacé, ma prof de troisième a démissionné et a été remplacé par une prof d'histoire/géo qui n'aimait pas trop les maths..
Voilà ce que c'est les écoles dans les quartiers GR..
Je n'ai pas de compte secondaire et je n'en ai jamais eu, les usurpateurs sont des FDP qui méritent de Crever
Non gpalu.
Je vais essayer de le faire de façon analytique par moi même d'abord
Je reviendrai lire ta preuve ensuite
Je vais essayer de le faire de façon analytique par moi même d'abord
Je reviendrai lire ta preuve ensuite
QA: T'as pas précisé que les nombres entre 1 et 100 étaient réel
Ponche Ponche, tu veux du Onche ?
Ils ne le sont pas. C'est l'approximation continue qui consiste en l'approximation d'un tirage de [0, 1/100, 2/100, .., 99/100] par un tirage selon U([0, 1]).
Ils ne le sont pas. C'est l'approximation continue qui consiste en l'approximation d'un tirage de [0, 1/100, 2/100, .., 99/100] par un tirage selon U([0, 1]).
si .. ou pas*
Ponche Ponche, tu veux du Onche ?
Trop chiant les probas
