[MATHS]Le théorème énorme de la classification des groupes.

Qu’est-ce qu’un groupe ? Un groupe est une structure algébrique disposant de symétries. Pour faire très simple : un groupe c’est un ensemble et une “opération” ; cette opération ( que l’on appelle “loi de composition” en mathématique, ou “loi” ) permet de combiner deux éléments - disons les éléments X et Y - de l’ensemble pour en obtenir un troisième qu’on notera Z, mais ce Z appartient déjà à l’ensemble. Cela signifie que les combinaisons d’éléments du groupe sous l’effet de la loi forment un ensemble “clot” et “complet” : on ne va pas découvrir de nouveaux éléments alchimiques dans un groupe. Ils sont préexistant, mais on peut essayer de se balader de l’un vers l’autre, comme une abeille va d’une fleur à une autre, mais jamais sa pollinisation ne va nous donner miraculeusement une plante radicalement différente.

Imaginons maintenant un groupe mais fini : c’est-à-dire avec un nombre fini d’éléments. Que se passe-t-il si je prend un de ses éléments qu’on note X, et que je le combine avec lui-même sous l’effet de la loi ? Disons que cela forme combin(X, X). Puis après que je combine X avec combin(X, X) ? Et que je combine le résultat avec X ? Et que je recommence encore et encore ... Je peux répéter cette opération un nombre infini de fois, mais notre groupe est fini, n’est-ce pas ? Nous voyons ainsi apparaître une ébauche de structure : les éléments atteignables via les combinaisons successives (sans limite, jusqu’à l’infini !) d’un élément avec lui-même ne peuvent que constituer un sous-ensemble fini de notre ensemble englobant lui aussi fini. Cela est vrai quelque soit le groupe fini que je me donne, peu importe la loi qui agit sur lui. Et j’ai pris l’exemple de combinaisons successives de X avec lui-même. Soyons un cran plus abstrait : je prends deux éléments X et Y. Je peux combiner X avec X ou avec Y, ou bien Y avec Y cela me donne combin(X, Y) ou combin(X, X) ou combin(Y, Y). Mais je peux combiner ce résultat avec ou X ou Y, voire lui-même. On voit tout de suite ce qu’il se passe, dans les grandes lignes : l’espace - a priori virtigineux - de toutes les configurations possibles construites à partir seulement des éléments X et Y est lui aussi fini, inclu dans mon ensemble de départ.

Ce genre de considérations à amener les mathématiciens à se poser la question suivante : puis-ce qu’on a de très forte contraintes de stabilité dans un groupe fini, on devrait avoir un moyen de les classifier. Les familles auxquelles appartiennent les groupes seraient caractérisées par leur loi de composition, mais il semble intuitivement raisonnable de penser que ces fortes contraintes sur la finitude du groupe n’impliquent pas elle-mêmes de fortes contraintes sur la loi de composition.

Ce long travail de recherche de classification des groupes finis s’est étendu sur un siècle, et a débuté en 1850. Il est le fruit de la collaboration à travers l’Europe et les régimes politiques - je branle souvent Crystal mais personne ne lira de toute façon - de mathématiciens et de centaines d’articles. Vers le milieu du XXè siècle, une réponse définitive - qu’on peut penser comme étant la condensation de plus de 10 000 pages d’articles de mathématiques - a enfin été donné, et la classification des groupes finis s’est totalement achevée. On appelle ce résultat le théorème énorme , au vu de la quantité abyssale de papier qu’il a fallu gratter pour le compléter.

Ce théorème s’énonce simplement. Tout groupe fini peut se réduire à quatre ou cinq familles de groupes bien connues OU appartenir à l’une des vingt-six catégories spéciales, irréductibles, appelées les groupes sporadiques. Ces vingt-six exceptions ne suivent pas de motifs “systématiques” dans leur structure. Mais on ne les trouve pas n’importe comment. Le plus petit groupe sporadique possède 8 000 éléments, le plus gros groupe sporadique possède A éléments, ou A est un nombre avec 54 chiffres. Mais généralement, un groupe sporadique possède plusieurs millions d’éléments.

Pour aller plus loin :

En fait je vous ai menti.
Ce ne sont pas les groupes finis qui sont classifiables mais les groupes SIMPLES . En gros, si vous avez deux groupes G1 et G2, il est possible de construire sous certaines conditions un plus gros groupe englobant G1 et G2 (des difficultés se posent quant à la compatibilité des lois, vous vous en doutez). Mais partant d’un groupe G, est-il possible de le scinder en plus petits groupes ? Si ce n’est pas possible, on dit que G est simple. Le théorème énoncé concerne la classification des groupes simples, et comme tout groupe est une “somme” de groupe simple on peut les construire par recollement.

et la bite là-dedans ?

Pourquoi ai-je voulu trouver une anomalie dans le texte

Pas de maths , seulement du français .

J'ai juste lu que tu nous as menti

Pas compris car ma spécialité est la philosophie
Par ailleurs je suis la seul personne sur terre (me semble t'il, du moins lors d'un doctorat) qui va fusionner la philosophie et les mathématiques lors d'un doctorat
As tu un plan pour un théorème qui prouve mathématiquement que l'exception fait la règle ?

Théorème est un raccourci pour signifier “si nous considérons ces objets mathématiques avec ces propriétés alors nous avons ce résultat”. Couper arbitrairement des propriétés ne peut qu’affaiblir le résultat ou le rendre totalement faux . Je vais chercher des exemples sur MathsStackOverflow.

En maths , ce que tu appelles exceptions semble se confondre avec l’idée de contre exemples contre-intuitifs qui révulsent notre imagination . Mais je suis certain de pouvoir trouver un théorème valable pour telle classe d’objet excepté ce cas -là ou ce cas-ci . L’exposé sur les groupes et les groupes sporadiques me semblait approprié mais c’est vrai que c’est technique .

Oui
J'ai 14 pages de synthèse philosophique qui prouve que l'exception fait la règle
Si avec une autorité mathématiques je prouve ça, ce sera le jackpot car je ne mentionnerai pas cette synthèse mathématique lors de mon antithèse
Après je vais suer pour rendre littéraire l'éventualité d'un théorème possible
Dans le sens où
lors de l'antithèse je vais devoir forcément justifier une analyse mathématique

Mais il y a un côté de moi qui dit ... OSEF je ne vais pas justifier les mathématiques lors de mon antithèse !
Bon sur le papier c'est punk comme manière de voir les choses mais pourquoi pas ?
La philosophie est de toutes façon proche de la poésie et de toutes façon ça c'est clairement en introduction de ma thèse

Je me dis que ce serai beau de finaliser l'antithèse de la sorte

tu seras pas le premier du tout, cesse de te croire à part

Il y en a une pourtant, claire comme du crystal

Merci l'op, topic instructif et bien écrit

Pauvre crystal

Tout le monde parle de Crystal et pas des critères de simplicités qui nous permettraient d’appliquer ce théorème . Je comprends pas pourquoi .

Bah oui justement c'est pour ça que j'ai dit ça

Du coup un groupe simple peut-être infini ?

Oui.

R* muni du produit par exemple.