objets projectifs dans la catégorie des espaces topologiques

tu as un domaine en particulier que tu voudrais étudier ? je peux peut-être aider

Je ne comprends pas comment ça pourrait expliquer ton aversion pour les maths.

Un type de problème courant en mathématiques est celui du relèvement : soit X un espace sur un espace de base Y avec une projection pi : X -> Y et une fonction f : A -> Y depuis un troisième espace A dans l'espace de base Y, quel est le relèvement de f ? (c'est à dire la fonction ~f : A -> X tel que pi (~f) = f).
Souvent on ajoute des contraintes: ~f doit préserver certaines propriétés de f (continuité, différentiabilité, linéarité, etc.)

Naturellement, si X -> Y n'est pas surjective, on ne s'attend pas en général à ce que le problème ait une solution puisque f pourrait prendre des valeurs en dehors du domaine de pi.
C'est donc naturel de supposer pi surjective, donnant ainsi lieu au diagramme commutatif suivant



Si aucune autre contrainte n'est placée sur ~f, alors l'axiome du choix implique précisément que le problème a toujours une solution (toujours en supposant que pi est surjective).
En effet, ça nous permet de sélectionner une préimage phi(y) € pi⁻¹ ({y}) dans la fibre de chaque point y € Y et l'on peut relever n'importe quelle application f : A -> Y avec ~f := phi (f).
Similairement, pour construire une fonction de choix pour une application surjective pi : X -> Y, il suffit de relever id_Y : Y -> Y vers X.

Ces choix sont souvent pathologiques (non mesurables, discontinues, etc.) Supposons désormais que toutes les structures sont topologiques et toutes les applications continues : le problème du relèvement n'est pas alors pas toujours résoluble. Par exemple, la projection naturelle R -> R/Z est continue, mais l'identité de R/Z ne se relève pas continûment dans R (parce que R est contractile et R/Z ne l'est pas).

En revanche, si A est un espace discret, toute application venant de A est automatiquement continue de sorte que tout relèvement peut être pris continu. Réciproquement, seuls les espaces discrets ont cette propriété : si on prend un espace A non-discret mais qu'on lui impose la topologie discrète sur les mêmes points (noté A_disc), le seul moyen de relever de façon continue l'identité A -> A via la projection A_disc -> A est que A soit lui même discret. On pourrait dire que les espaces discrets sont exactement les objets projectifs dans la catégorie des espaces topologiques (où les épimorphismes sont les surjections continues).

"Les épimorphismes de la catégorie Top sont les surjections continues".

C'est faux il me semble non ?

La frustration de devoir reprendre les bases, et le fait que j'accumule du retard

Oui, on peut dire que les espaces discrets sont les objets projectifs par rapport aux surjections dans Top (les épimorphismes au sens catégorique sont seulement les applications à image dense. l'inclusion Q dans R n'est pas surjective) merci!

Ce n'est pas la matières que tu détestes mais les conditions d'apprentissage.

Et alors quels seraient les objets inductifs de cette catégorie ?

Je suppose que tu veux dire objets injectifs dans Top.
Si l'on exige le relèvement contre toutes les surjections p : X -> Y (au cas où tu pensais injectif par rapport aux surjections) alors l'unique injectif est le singleton (sinon prends une surjection qui identifie deux points de X et une application qui les envoie sur deux images différentes. pas de factorisations possibles).

Si tu entendais injectif par rapport aux monos (au sens catégorique pur où on autorise toutes application continue injective et pas seulement les inclusions de sous-espaces), on obtient naturellement les espaces indiscrets.