objets projectifs dans la catégorie des espaces topologiques

Un type de problème courant en mathématiques est celui du relèvement : soit X un espace sur un espace de base Y avec une projection pi : X -> Y et une fonction f : A -> Y depuis un troisième espace A dans l'espace de base Y, quel est le relèvement de f ? (c'est à dire la fonction ~f : A -> X tel que pi (~f) = f).
Souvent on ajoute des contraintes: ~f doit préserver certaines propriétés de f (continuité, différentiabilité, linéarité, etc.)

Naturellement, si X -> Y n'est pas surjective, on ne s'attend pas en général à ce que le problème ait une solution puisque f pourrait prendre des valeurs en dehors du domaine de pi.
C'est donc naturel de supposer pi surjective, donnant ainsi lieu au diagramme commutatif suivant



Si aucune autre contrainte n'est placée sur ~f, alors l'axiome du choix implique précisément que le problème a toujours une solution (toujours en supposant que pi est surjective).
En effet, ça nous permet de sélectionner une préimage phi(y) € pi⁻¹ ({y}) dans la fibre de chaque point y € Y et l'on peut relever n'importe quelle application f : A -> Y avec ~f := phi (f).
Similairement, pour construire une fonction de choix pour une application surjective pi : X -> Y, il suffit de relever id_Y : Y -> Y vers X.

Ces choix sont souvent pathologiques (non mesurables, discontinues, etc.) Supposons désormais que toutes les structures sont topologiques et toutes les applications continues : le problème du relèvement n'est pas alors pas toujours résoluble. Par exemple, la projection naturelle R -> R/Z est continue, mais l'identité de R/Z ne se relève pas continûment dans R (parce que R est contractile et R/Z ne l'est pas).

En revanche, si A est un espace discret, toute application venant de A est automatiquement continue de sorte que tout relèvement peut être pris continu. Réciproquement, seuls les espaces discrets ont cette propriété : si on prend un espace A non-discret mais qu'on lui impose la topologie discrète sur les mêmes points (noté A_disc), le seul moyen de relever de façon continue l'identité A -> A via la projection A_disc -> A est que A soit lui même discret. On pourrait dire que les espaces discrets sont exactement les objets projectifs dans la catégorie des espaces topologiques (où les épimorphismes sont les surjections continues).

Franchement je préfère subir beaucoup de sévices plutôt que de m'infliger des maths

c'est dommage, pourquoi ?

Je suis une artiste

moi aussi (du moins, j'essaie). l'un n'empêche pas l'autre.

Je peux te conseiller ce cours, si ça t'intéresse
 https://www.math.univ-paris13.fr[...]/MAT557_TA/AT_X_Cours.pdf

Putain j'ai chopé un de ces mal de crâne hier après le vélo, là j'ai juste envie de crever en lisant ça

tu as un domaine en particulier que tu voudrais étudier ? je peux peut-être aider

Ca me serivrait a rien du tout de savoir les espaces avec des objets projectifs .

Et je deteste le fait que les maths fonctionnent par pallier

Si on veut comprendre ton post on doit
Comprendre la définition de relèvement
Comprendre ce qu'est un espace sur un espace
Comprendre continuité, Differentiabilite etc


Pour comprendre toute les notions de ton texte il faut comprendre et maitriser d'autres notions plus basique

Pour comprendre ces notions légèrement plus basiques il faut en comprendre d'autres plus basique

Et ainsi de suite
C'est beaucoup trop cadré, c'est comme un jeu video ou l'on t'empecherait d'acceder a une competence si tu n'as pas débloque les tonnes de competences précédente qui se debloquent avec d'autres et ça devient beaucoup trop long et rebarbatif yout ca pour seulement acceder a une compétence qui si ça se trouve, est même pas interessante

Je n'ai jamais compris cette dichotomie entre les maths et l'art. On peut retrouver la même structure en littérature/philosophie avec des auteurs qui réinvestissent des idées exprimées par d'autres. L'art est également sujet à des dépendances : on peut difficilement mesurer la valeur d'une œuvre sans la rapporter à ses références.

Les maths ne sont pas plus cadrées que les disciplines artistiques et à vrai dire, rien ne t'empêche de créer ton propre système formel que tu estimerais plus adéquate (l'histoire est remplie de tels exemples).

Je vois d'un très mauvais œil cette tradition française à vouloir pousser à la spécialisation en occultant inévitablement des disciplines par la même occasion. Ça donne l'impression que chaque discipline vit dans un monde étriqué et que tout transfert de connaissances de l'une dans l'autre est voué à l'échec.

Je penses que tu as totalement tort. Les maths c'est bien l'une des seules disciplines avec les sciences ou il te faut maitriser je dis bien maitriser des tonnes de dependance simplement pour comprendre ce que tu viens d'ecrire.

Et mon message n'a fait aucun comparaison entre art et science. ( quand j'ai blagué en disant, je suis une artiste, c'était pour dire que les mathématiques ne m'interessaient pas outre mesure apres les notions de bases utiles, et que d'un point de vue professionnel ce n'est pas mon secteur)
Mais si yu veux parler d'art, personne, absolument personne n'a besoin de maitrise pour apprecier et regarder une peinture/ sculpture/ photos/film/ musique et comprendre son message ou en tirer quelque chose, peu importe son niveau dans l'art en question.


Pour les maths, je ne peux pas et je n'ai aucun moyen d'interaction avec ton texte si je ne maitrise pas les fonctions, la topologie et toute les notions de ton texte. C'est un système fermé au néophyte, comme un néophyte ne peux comprendre ce qui se deroule en loge maçonnique sans y est initié. Ici, sans initiation, ton texte est comme une langue étrangère incompréhensible.

Moi je vais pas faire semblant, je déteste, et je suis obligé de m'en bouffer

Je n'ai pas pour prétention de représenter ce que sont les maths à travers mon topic, j'utilise seulement le vernaculaire utilisé dans le monde universitaire parce qu'il est, d'une part, le plus répandu et qu'il permet, d'autre part, de décrire le plus précisément (à ma connaissance) les résultats que je souhaitais présenter.

Tu sembles faire une confusion entre ce que sont les maths en tant que discipline et ce langage que l'on a inventé et adapté au fil des âges pour pouvoir définir formellement les objets traités. J'aurais effectivement pu m'abstenir de l'utiliser et avoir recours au simple langage naturel pour expliquer tout ceci mais je ne suis malheureusement pas suffisamment versé en algèbre topologique pour pouvoir proposer une représentation fidèle qui ne soufrerait pas de ces limitations.
Bref, les dépendances que tu observes dans les mathématiques ne sont en réalité uniquement présentes dans leurs représentations et ne sont au final que le fait de mon inaptitude personnelle à les traduire à travers un autre langage.

Une œuvre peut en effet rentrer en résonance avec son observateur mais l'appréciation fidèle de cette dernière devra inévitablement passer par la reconnaissance des références utilisées. Ce n'est d'ailleurs pas plus différent en maths : beaucoup admettent être fascinés par certaines constructions (fractales, etc.) et j'irais même jusqu'à croire que c'est là la principale motivation qui pousse les gens à étudier les maths.
Le langage formel ne vient que plus tard pour formaliser les idées et permettre la publication.

En conclusion, je reconnais volontiers que le format de mon topic n'était pas adapté pour son audience (bien que j'avais l'espoir intérieur que les possibles interrogations puissent être à priori réglées ensuite) mais je refuse toujours cette césure entre les maths et l'art et prétendre le contraire reviendrait selon moi à exclure les maths de toute contemplation et réduire la discipline à un simple calcul brute.

Ce serait intéressant si tu pouvais développer davantage.

J'ai du mal à comprendre les logiques des maths, j'ai pas assez fondé mes bases et tout est bancales dans mes études sup, ça ne me plait pas les maths

Je détestais mon prof de français au lycée mais ça ne m'a pas empêché d'aimer la matière. Tu sembles toi aussi faire une confusion entre la discipline et la méthode d'enseignement/vernaculaire universitaire utilisé.

Le temps nous est en effet limité mais c'est déjà remarquable d'étudier des sujets connexes (peu importe qu'ils soient en lien avec ta spécialisation).

Ironiquement de mon coté, j'apprécie énormément ma prof de math, et c'est réciproque mais elle ne laisse pas assez de temps, et puis je suis démotivé à vouloir apprendre

Je ne comprends pas comment ça pourrait expliquer ton aversion pour les maths.