On a souvent en géométrie algébrique besoin de calculer la dimension d'un espace de sections globales Gamma(X, F). (Par exemple, si X est une variété, dim Gamma(X, O_X) est le nombre de composants connexes de X)
La méthode pour calculer ces nombres est d'incorporer les faisceaux en question dans des suites exactes (comme on le fait généralement pour Bézout) et on se heurte toujours au problème de l'inexactitude de Gamma (dans une suite du type 0 ----> Gamma(X, F) ----> Gamma(X, G) --pi--> Gamma(X, H) où pi n'est pas surjectif, si on connaît deux des dimensions on ne sait pas calculer la troisième).
La cohomologie a été inventé (entre autres) pour surmonter cette difficulté. On introduit de nouveaux groupes associés à F, que l'on note Hi(X, F) définis pour i >= 0 avec H0 = Gamma. Leur propriété essentielle est de donner lieu, lorsqu'on a suite exacte de faisceaux 0 ---> F ----> G --p--> H ----> 0 à une suite exacte longue
0 ---> H0(F) ----> H0(G) --pi--> Ho(H) --delta--> H1(F) ----> H1(G) ---> H1(H) ---> H2(F) ---> ...
dont on espère qu'elle va permettre de calculer l'image de pi (en pratique on y arrive que si certains Hi sont nuls).
La méthode pour calculer ces nombres est d'incorporer les faisceaux en question dans des suites exactes (comme on le fait généralement pour Bézout) et on se heurte toujours au problème de l'inexactitude de Gamma (dans une suite du type 0 ----> Gamma(X, F) ----> Gamma(X, G) --pi--> Gamma(X, H) où pi n'est pas surjectif, si on connaît deux des dimensions on ne sait pas calculer la troisième).
La cohomologie a été inventé (entre autres) pour surmonter cette difficulté. On introduit de nouveaux groupes associés à F, que l'on note Hi(X, F) définis pour i >= 0 avec H0 = Gamma. Leur propriété essentielle est de donner lieu, lorsqu'on a suite exacte de faisceaux 0 ---> F ----> G --p--> H ----> 0 à une suite exacte longue
0 ---> H0(F) ----> H0(G) --pi--> Ho(H) --delta--> H1(F) ----> H1(G) ---> H1(H) ---> H2(F) ---> ...
dont on espère qu'elle va permettre de calculer l'image de pi (en pratique on y arrive que si certains Hi sont nuls).
La meilleure façon de châtier les hommes est de toujours donner ce qu'ils réclament.
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Rien compris mais débidax
++ DEUS EST MACHINA ++
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Merci clé
La meilleure façon de châtier les hommes est de toujours donner ce qu'ils réclament.
