Help en maths expertes sur le PGCD

Nous allons utiliser le fait que PGCD(a;b) = 21 pour simplifier l'équation 2a² + b² = 100548.

Tout d'abord, nous remarquons que 21 divise 2a² et b² car PGCD(a;b) = 21. Par conséquent, 21 divise également 2a² + b².

Donc, nous avons :

2a² + b² ≡ 0 (mod 21)

Comme 2 et 21 sont premiers entre eux, nous pouvons diviser par 2 :

a² + (b/√2)² ≡ 0 (mod 21)

Maintenant, nous pouvons utiliser le fait que 21 = 3 × 7 pour décomposer l'équation en deux :

a² + (b/√2)² ≡ 0 (mod 3)

a² + (b/√2)² ≡ 0 (mod 7)

Pour la première équation, nous remarquons que a² ≡ 0 ou 1 (mod 3) car 3 est un nombre premier. Si a² ≡ 0 (mod 3), alors b/√2 est divisible par 3 car PGCD(a;b) = 21. Mais cela implique que b est divisible par √2, ce qui est impossible car b est un entier naturel. Par conséquent, a² ≡ 1 (mod 3).

Pour la deuxième équation, nous remarquons que a² ≡ 0, 1, 2 ou 4 (mod 7) car 7 est un nombre premier. Si a² ≡ 0 (mod 7), alors b/√2 est divisible par 7 car PGCD(a;b) = 21. Mais cela implique que b est divisible par √2, ce qui est impossible car b est un entier naturel. Si a² ≡ 1 (mod 7), alors (b/√2)² ≡ 0, 1, 2 ou 4 (mod 7). Si a² ≡ 2 ou 4 (mod 7), alors (b/√2)² ≡ 2 ou 4 (mod 7), respectivement. Mais aucun de ces cas ne satisfait l'équation a² + (b/√2)² ≡ 0 (mod 7). Par conséquent, a² ≡ 1 (mod 7).

En résumé, nous avons montré que a² ≡ 1 (mod 3) et a² ≡ 1 (mod 7). En utilisant le théorème des restes chinois, nous pouvons conclure que a² ≡ 1 (mod 21).

Maintenant, nous savons qu'est de la forme a = 21k + 1 ou a = 21k + 20 pour un certain entier k.

En remplaçant a par 21k + 1 dans l'équation 2a² + b² = 100548, nous obtenons :

2(21k + 1)² + b² = 100548

Ce qui se simplifie en :

882k² + b² + 42k - 50274 = 0

Maintenant, nous remarquons que 21 divise b car PGCD(a;b) = 21. Donc, b est de la forme b = 21