Les classes d'applications entre des espaces topologiques encodent des informations intéressantes.
Par exemple, il existe un espace appelé BU(1) qui possède la propriété particulière suivante : pour tout autre espace X, les classes d'homotopie [X, BU(1)] d'applications continues de X vers BU(1) correspondent aux classes d'équivalences de fibrés en cercles au-dessus de X.
Un exemple connu de fibré de cercle que vous connaissez peut-être est la fibration de Hopf qui donne une application entre la sphère S³ et la sphère S² telle que pour tout ouvert "local" U dans S², S³ est homéomorphe au produit U x S¹.
Ce fibré particulier correspond d'ailleurs à une classe très spéciale d'applications X -> BU(1), à savoir l'ensemble des applications [S², BU(1)] qui se trouve avoir la structure du groupe abélien Z des entiers avec l'addition où la fibration de Hopf correspond alors au générateur 1 de ce groupe. On l'appelle aussi le deuxième groupe de cohomologie entière de X, noté H²(X, Z)
Ces groupes de cohomologie encodent une grande quantité d'informations intéressantes sur les espaces topologiques mais il existe encore certaines informations utiles qui ne sont pas encodées par les applications qui vont de celui-ci vers un autre espace topologique. En particulier, si l'espace X est également muni d'une structure supplémentaire, comme celle d'une variété différentielle, alors on s'intéresse aux fibrés en cercles lisses au-dessus de X qui sont munis d'une connexion qui associe à chaque chemin différentiable gamma : x -> y dans X une identification entre deux cercles situés au dessus de ses extrémités.
C'est ici que ces considérations deviennent pertinentes pour la physique : les fibrés munis d'une connexion, puis les n-fibrés encodent des champs de jauge (le champ électromagnétique par exemple).
On pourrait espérer qu'il existe une variété qui classifie les fibrés en cercles lisses avec connexion mais ce n'est pas le cas à moins d'étendre les notions de variété et d'espace en général.
La généralisation souhaitée qui permet précisément cela est la notion de faisceau (il existe une manière très générale et très abstraite de comprendre les faisceaux comme des espaces généralisés dans le cadre d'une dualité abstraite entre les notions d'espace et de quantité, ce que je veux montrer ici est une description plus informelle).
Par exemple, il existe un espace appelé BU(1) qui possède la propriété particulière suivante : pour tout autre espace X, les classes d'homotopie [X, BU(1)] d'applications continues de X vers BU(1) correspondent aux classes d'équivalences de fibrés en cercles au-dessus de X.
Un exemple connu de fibré de cercle que vous connaissez peut-être est la fibration de Hopf qui donne une application entre la sphère S³ et la sphère S² telle que pour tout ouvert "local" U dans S², S³ est homéomorphe au produit U x S¹.
Ce fibré particulier correspond d'ailleurs à une classe très spéciale d'applications X -> BU(1), à savoir l'ensemble des applications [S², BU(1)] qui se trouve avoir la structure du groupe abélien Z des entiers avec l'addition où la fibration de Hopf correspond alors au générateur 1 de ce groupe. On l'appelle aussi le deuxième groupe de cohomologie entière de X, noté H²(X, Z)
Ces groupes de cohomologie encodent une grande quantité d'informations intéressantes sur les espaces topologiques mais il existe encore certaines informations utiles qui ne sont pas encodées par les applications qui vont de celui-ci vers un autre espace topologique. En particulier, si l'espace X est également muni d'une structure supplémentaire, comme celle d'une variété différentielle, alors on s'intéresse aux fibrés en cercles lisses au-dessus de X qui sont munis d'une connexion qui associe à chaque chemin différentiable gamma : x -> y dans X une identification entre deux cercles situés au dessus de ses extrémités.
C'est ici que ces considérations deviennent pertinentes pour la physique : les fibrés munis d'une connexion, puis les n-fibrés encodent des champs de jauge (le champ électromagnétique par exemple).
On pourrait espérer qu'il existe une variété qui classifie les fibrés en cercles lisses avec connexion mais ce n'est pas le cas à moins d'étendre les notions de variété et d'espace en général.
La généralisation souhaitée qui permet précisément cela est la notion de faisceau (il existe une manière très générale et très abstraite de comprendre les faisceaux comme des espaces généralisés dans le cadre d'une dualité abstraite entre les notions d'espace et de quantité, ce que je veux montrer ici est une description plus informelle).
La meilleure façon de châtier les hommes est de toujours donner ce qu'ils réclament.
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Stylé mais je vais rester sur l'étude des flamants rose si tu me le permet
La 
Boucle
Boucle Pour comprendre ce qu'est un faisceau, rappelons avant quel aspect de la notion d'espace topologique était pertinent dans l'exemple précédent BU(1) : cet espace est entièrement caractérisé par la manière dont on peut y envoyer d'autres espaces : X -> [X, BU(1)]
C'est une stratégie générale que l'on peut adopter : supposons que j'invente un espace, sans vous dire lequel mais que je vous donne des indices.
Pour chaque autre espace U que vous pouvez imaginer, je vous indique comment vous pouvez sonder mon espace en envoyant votre espace U dans le mien. Appelons maintenant un tel espace X. Pour chaque espace U que vous proposez, je fais un calcul secret puis je vous remets un ensemble (appelons le X(U)) et je vous dis qu'il s'agit de l'ensemble des "façons" d'envoyer U dans X.
Pourriez-vous en général deviner quel est l'espace X à partir de cette information U -> X(U) ? Non. Pour vraiment comprendre à quoi correspond X, il faudrait connaître la manière dont les différentes façons de le sonder par divers U se relient entre elles. Si je vous donne une application f : U -> V d'un espace à un autre, alors pour tout élément p : V -> X de X(V), f induit une transformation X(U) <- X(V). Je devrais donc à minima vous donner une description de cette transformation.
Avons-nous besoin de plus d'informations pour deviner X ? Non! Ce fait remarquable est étroitement lié au lemme de Yoneda et son implication sur les foncteurs représentables.
C'est une stratégie générale que l'on peut adopter : supposons que j'invente un espace, sans vous dire lequel mais que je vous donne des indices.
Pour chaque autre espace U que vous pouvez imaginer, je vous indique comment vous pouvez sonder mon espace en envoyant votre espace U dans le mien. Appelons maintenant un tel espace X. Pour chaque espace U que vous proposez, je fais un calcul secret puis je vous remets un ensemble (appelons le X(U)) et je vous dis qu'il s'agit de l'ensemble des "façons" d'envoyer U dans X.
Pourriez-vous en général deviner quel est l'espace X à partir de cette information U -> X(U) ? Non. Pour vraiment comprendre à quoi correspond X, il faudrait connaître la manière dont les différentes façons de le sonder par divers U se relient entre elles. Si je vous donne une application f : U -> V d'un espace à un autre, alors pour tout élément p : V -> X de X(V), f induit une transformation X(U) <- X(V). Je devrais donc à minima vous donner une description de cette transformation.
Avons-nous besoin de plus d'informations pour deviner X ? Non! Ce fait remarquable est étroitement lié au lemme de Yoneda et son implication sur les foncteurs représentables.
La meilleure façon de châtier les hommes est de toujours donner ce qu'ils réclament.
Les classes d'applications entre des espaces topologiques encodent des informations intéressantes.
Par exemple, il existe un espace appelé BU(1) qui possède la propriété particulière suivante : pour tout autre espace X, les classes d'homotopie [X, BU(1)] d'applications continues de X vers BU(1) correspondent aux classes d'équivalences de fibrés en cercles au-dessus de X.
Un exemple connu de fibré de cercle que vous connaissez peut-être est la fibration de Hopf qui donne une application entre la sphère S³ et la sphère S² telle que pour tout ouvert "local" U dans S², S³ est homéomorphe au produit U x S¹.
Ce fibré particulier correspond d'ailleurs à une classe très spéciale d'applications X -> BU(1), à savoir l'ensemble des applications [S², BU(1)] qui se trouve avoir la structure du groupe abélien Z des entiers avec l'addition où la fibration de Hopf correspond alors au générateur 1 de ce groupe. On l'appelle aussi le deuxième groupe de cohomologie entière de X, noté H²(X, Z)
Ces groupes de cohomologie encodent une grande quantité d'informations intéressantes sur les espaces topologiques mais il existe encore certaines informations utiles qui ne sont pas encodées par les applications qui vont de celui-ci vers un autre espace topologique. En particulier, si l'espace X est également muni d'une structure supplémentaire, comme celle d'une variété différentielle, alors on s'intéresse aux fibrés en cercles lisses au-dessus de X qui sont munis d'une connexion qui associe à chaque chemin différentiable gamma : x -> y dans X une identification entre deux cercles situés au dessus de ses extrémités.
C'est ici que ces considérations deviennent pertinentes pour la physique : les fibrés munis d'une connexion, puis les n-fibrés encodent des champs de jauge (le champ électromagnétique par exemple).
On pourrait espérer qu'il existe une variété qui classifie les fibrés en cercles lisses avec connexion mais ce n'est pas le cas à moins d'étendre les notions de variété et d'espace en général.
La généralisation souhaitée qui permet précisément cela est la notion de faisceau (il existe une manière très générale et très abstraite de comprendre les faisceaux comme des espaces généralisés dans le cadre d'une dualité abstraite entre les notions d'espace et de quantité, ce que je veux montrer ici est une description plus informelle).
Par exemple, il existe un espace appelé BU(1) qui possède la propriété particulière suivante : pour tout autre espace X, les classes d'homotopie [X, BU(1)] d'applications continues de X vers BU(1) correspondent aux classes d'équivalences de fibrés en cercles au-dessus de X.
Un exemple connu de fibré de cercle que vous connaissez peut-être est la fibration de Hopf qui donne une application entre la sphère S³ et la sphère S² telle que pour tout ouvert "local" U dans S², S³ est homéomorphe au produit U x S¹.
Ce fibré particulier correspond d'ailleurs à une classe très spéciale d'applications X -> BU(1), à savoir l'ensemble des applications [S², BU(1)] qui se trouve avoir la structure du groupe abélien Z des entiers avec l'addition où la fibration de Hopf correspond alors au générateur 1 de ce groupe. On l'appelle aussi le deuxième groupe de cohomologie entière de X, noté H²(X, Z)
Ces groupes de cohomologie encodent une grande quantité d'informations intéressantes sur les espaces topologiques mais il existe encore certaines informations utiles qui ne sont pas encodées par les applications qui vont de celui-ci vers un autre espace topologique. En particulier, si l'espace X est également muni d'une structure supplémentaire, comme celle d'une variété différentielle, alors on s'intéresse aux fibrés en cercles lisses au-dessus de X qui sont munis d'une connexion qui associe à chaque chemin différentiable gamma : x -> y dans X une identification entre deux cercles situés au dessus de ses extrémités.
C'est ici que ces considérations deviennent pertinentes pour la physique : les fibrés munis d'une connexion, puis les n-fibrés encodent des champs de jauge (le champ électromagnétique par exemple).
On pourrait espérer qu'il existe une variété qui classifie les fibrés en cercles lisses avec connexion mais ce n'est pas le cas à moins d'étendre les notions de variété et d'espace en général.
La généralisation souhaitée qui permet précisément cela est la notion de faisceau (il existe une manière très générale et très abstraite de comprendre les faisceaux comme des espaces généralisés dans le cadre d'une dualité abstraite entre les notions d'espace et de quantité, ce que je veux montrer ici est une description plus informelle).
C'est horrible ce genre de maths, ya rien de concret ça me rend zinzin, j'arrive même pas à accrocher à l'énoncé
La TEAM LAPIN domine le FOROMENT
J'ai donné un exemple avec X=S² et la fibration de hopf
La meilleure façon de châtier les hommes est de toujours donner ce qu'ils réclament.
Les classes d'applications entre des espaces topologiques encodent des informations intéressantes.
Par exemple, il existe un espace appelé BU(1) qui possède la propriété particulière suivante : pour tout autre espace X, les classes d'homotopie [X, BU(1)] d'applications continues de X vers BU(1) correspondent aux classes d'équivalences de fibrés en cercles au-dessus de X.
Un exemple connu de fibré de cercle que vous connaissez peut-être est la fibration de Hopf qui donne une application entre la sphère S³ et la sphère S² telle que pour tout ouvert "local" U dans S², S³ est homéomorphe au produit U x S¹.
Ce fibré particulier correspond d'ailleurs à une classe très spéciale d'applications X -> BU(1), à savoir l'ensemble des applications [S², BU(1)] qui se trouve avoir la structure du groupe abélien Z des entiers avec l'addition où la fibration de Hopf correspond alors au générateur 1 de ce groupe. On l'appelle aussi le deuxième groupe de cohomologie entière de X, noté H²(X, Z)
Ces groupes de cohomologie encodent une grande quantité d'informations intéressantes sur les espaces topologiques mais il existe encore certaines informations utiles qui ne sont pas encodées par les applications qui vont de celui-ci vers un autre espace topologique. En particulier, si l'espace X est également muni d'une structure supplémentaire, comme celle d'une variété différentielle, alors on s'intéresse aux fibrés en cercles lisses au-dessus de X qui sont munis d'une connexion qui associe à chaque chemin différentiable gamma : x -> y dans X une identification entre deux cercles situés au dessus de ses extrémités.
C'est ici que ces considérations deviennent pertinentes pour la physique : les fibrés munis d'une connexion, puis les n-fibrés encodent des champs de jauge (le champ électromagnétique par exemple).
On pourrait espérer qu'il existe une variété qui classifie les fibrés en cercles lisses avec connexion mais ce n'est pas le cas à moins d'étendre les notions de variété et d'espace en général.
La généralisation souhaitée qui permet précisément cela est la notion de faisceau (il existe une manière très générale et très abstraite de comprendre les faisceaux comme des espaces généralisés dans le cadre d'une dualité abstraite entre les notions d'espace et de quantité, ce que je veux montrer ici est une description plus informelle).
Par exemple, il existe un espace appelé BU(1) qui possède la propriété particulière suivante : pour tout autre espace X, les classes d'homotopie [X, BU(1)] d'applications continues de X vers BU(1) correspondent aux classes d'équivalences de fibrés en cercles au-dessus de X.
Un exemple connu de fibré de cercle que vous connaissez peut-être est la fibration de Hopf qui donne une application entre la sphère S³ et la sphère S² telle que pour tout ouvert "local" U dans S², S³ est homéomorphe au produit U x S¹.
Ce fibré particulier correspond d'ailleurs à une classe très spéciale d'applications X -> BU(1), à savoir l'ensemble des applications [S², BU(1)] qui se trouve avoir la structure du groupe abélien Z des entiers avec l'addition où la fibration de Hopf correspond alors au générateur 1 de ce groupe. On l'appelle aussi le deuxième groupe de cohomologie entière de X, noté H²(X, Z)
Ces groupes de cohomologie encodent une grande quantité d'informations intéressantes sur les espaces topologiques mais il existe encore certaines informations utiles qui ne sont pas encodées par les applications qui vont de celui-ci vers un autre espace topologique. En particulier, si l'espace X est également muni d'une structure supplémentaire, comme celle d'une variété différentielle, alors on s'intéresse aux fibrés en cercles lisses au-dessus de X qui sont munis d'une connexion qui associe à chaque chemin différentiable gamma : x -> y dans X une identification entre deux cercles situés au dessus de ses extrémités.
C'est ici que ces considérations deviennent pertinentes pour la physique : les fibrés munis d'une connexion, puis les n-fibrés encodent des champs de jauge (le champ électromagnétique par exemple).
On pourrait espérer qu'il existe une variété qui classifie les fibrés en cercles lisses avec connexion mais ce n'est pas le cas à moins d'étendre les notions de variété et d'espace en général.
La généralisation souhaitée qui permet précisément cela est la notion de faisceau (il existe une manière très générale et très abstraite de comprendre les faisceaux comme des espaces généralisés dans le cadre d'une dualité abstraite entre les notions d'espace et de quantité, ce que je veux montrer ici est une description plus informelle).
Rien compris
T'as un lien de parenté avec Yona Némésis ?
