Soit P un point quelconque de la section conique. Soient également G1 et G2 les deux sphères qui sont tangentes au cône et au plan sécant. Leurs intersections avec le cône forment deux cercles nommés respectivement k1 et k2, et avec le plan deux points nommés F1 et F2. Les intersections de la génératrice du cône passant par P avec k1 et k2 sont nommées P1 et P2. Comme PP1=PF1 et PP2=PF2 (car deux tangentes à une même sphère se coupent en un point situé à distance égale des deux pieds des tangentes), PF1 + PF2 = P1P2. Or, la distance entre P1 et P2 est constante, quel que soit P. En d’autres termes, pour tout point P, PF1+ PF2 est constant ; et donc, la section conique comprenant P est une ellipse bifocale de foyers F1 et F2.
Pour le deuxième point du théorème, on considère l’intersection entre le plan de la section et celui du petit cercle k1. Il s'agit de montrer qu’il s’agit de la directrice. On projette maintenant P sur le plan du petit cercle, ce nouveau point est nommé P’. Le projeté du même point P sur la supposée directrice est appelé D. On constate alors que tous les triangles PP’P1 sont semblables, quel que soit le point P. Ainsi, le rapport entre PP’ et PP1(=PF1) est toujours constant. On constate également que les triangles PP’D sont semblables, ce qui veut dire que le rapport entre PP’ et PD est une autre constante. Ainsi le rapport DP/PF1 est une constante, ce qui correspond à la première définition de l'ellipse.
On en parle de ce gros debile ?
Pour le deuxième point du théorème, on considère l’intersection entre le plan de la section et celui du petit cercle k1. Il s'agit de montrer qu’il s’agit de la directrice. On projette maintenant P sur le plan du petit cercle, ce nouveau point est nommé P’. Le projeté du même point P sur la supposée directrice est appelé D. On constate alors que tous les triangles PP’P1 sont semblables, quel que soit le point P. Ainsi, le rapport entre PP’ et PP1(=PF1) est toujours constant. On constate également que les triangles PP’D sont semblables, ce qui veut dire que le rapport entre PP’ et PD est une autre constante. Ainsi le rapport DP/PF1 est une constante, ce qui correspond à la première définition de l'ellipse.
On en parle de ce gros debile ?
Non
