Imaginons la situation suivante :
je possède une baton de 10m. Un escargot est posé à une extrêmité. Chaque jour, l’escargot avance d’1m. Puis il s’endort. Et alors, un génie étire magiquement le baton de 10m.
La position de l’escargot est avancée proportionnellement à sa position actuelle.
Cela signifie que si l’escargot est sur une une abscisse x=2, le baton est de longueur 20, le génie va étirer le baton à une longueur de 30; et l’escargot se retrouve ainsi sur l’abscisse 2 × 30 / 20.
La question est la suivante : est-ce que l’escargot parviendra-t-il a atteindre le bout du baton ? Où est-ce que peu importe ses efforts; le génie étirera toujours le baton pour l’empêcher d’arriver au bout ?
Réponse :
je possède une baton de 10m. Un escargot est posé à une extrêmité. Chaque jour, l’escargot avance d’1m. Puis il s’endort. Et alors, un génie étire magiquement le baton de 10m.
La position de l’escargot est avancée proportionnellement à sa position actuelle.
Cela signifie que si l’escargot est sur une une abscisse x=2, le baton est de longueur 20, le génie va étirer le baton à une longueur de 30; et l’escargot se retrouve ainsi sur l’abscisse 2 × 30 / 20.
La question est la suivante : est-ce que l’escargot parviendra-t-il a atteindre le bout du baton ? Où est-ce que peu importe ses efforts; le génie étirera toujours le baton pour l’empêcher d’arriver au bout ?
Réponse :
On note L(n) la longueur du baton au jour n (ici L(n) = 10m + n × 10 ); x(n) la position de l’escargot à la fin de la journée et R(n) le rapport x(n) / L(n) (quand l’escargot a parcouru son mètre; avant que le génie n’étire le baton).
Alors R(n+1) - R(n) = 1 / (L + 10 × (n+1) ); il advient que R(n) est semblable à la série harmonique, donc l’escargot parviendra en effet à dépasser le baton.
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