Un système quantique est défini comme un espace de Hilbert projectif. Les symétries sont représentées par des opérateurs unitaires provenant d'un groupe de Lie. Les observables fondamentales sont les générateurs auto-adjoints associés aux éléments de l'algèbre de Lie. Leur évolution suit l'équation d'Heisenberg, qui relie la dérivée temporelle d'une observable au commutateur entre cette observable et le générateur de l'évolution.
En mécanique classique maintenant, l'espace des états es tune variété lisse. Les symétries sont des difféomorphimes (des transformation lisses de l'espace). À un élément de l'algèbre de Lie du groupe de symétrie correspond un champ vectoriel fondamental sur la variété. L'évolution infinitésimale d'un champ se fait via le crochet de Lie entre champs vectoriels.
Notez qu'en mécanique classique, les observables doivent être des fonctions, pas des champs. Pour relier un champ à une fonction observable, on introduit une 2-forme (qu'on appelle omega) qui permet d'associer à chaque champ fondamental une fonction hamiltonienne.
Si omega est fermée (sa dérivée extérieur est nulle), c'est une structure présymplectique. Si elle est en plus non-dégénérée, c'est une structure symplectique qui permet une correspondance univoque entre fonctions et champs.
Sur une variété symplectique, les fonctions hamiltoniennes possèdent un crochet appelé "crochet de Poisson" qui encode la dynamique classique et satisfait une relation analogue au commutateur quantique. L'équation de Hamilton qui décrit l'évolution d'une observable peut se réécrire simplement avec ce crochet.
Sur une variété munie d'une structure de Poisson, une action de groupe est dite "poissonnienne" si elle est compatible avec le crochet de Poisson via l'application moment (qui associe à chaque point de la variété un élément du dual de l'algèbre de Lie). Elle permet de récupérer les observables classiques.
Il existe un théorème (
https://en.wikipedia.org/[...]is_theorem?useskin=vector) qui nous dit que toute application linéaire de l'algèbre de Lie vers les champs de vecteurs provient d'une action de groupe unique si certaines conditions sont remplies.
Grâce à cette structure, les observables classiques apparaissent comme les composantes de la carte moment.
En mécanique classique maintenant, l'espace des états es tune variété lisse. Les symétries sont des difféomorphimes (des transformation lisses de l'espace). À un élément de l'algèbre de Lie du groupe de symétrie correspond un champ vectoriel fondamental sur la variété. L'évolution infinitésimale d'un champ se fait via le crochet de Lie entre champs vectoriels.
Notez qu'en mécanique classique, les observables doivent être des fonctions, pas des champs. Pour relier un champ à une fonction observable, on introduit une 2-forme (qu'on appelle omega) qui permet d'associer à chaque champ fondamental une fonction hamiltonienne.
Si omega est fermée (sa dérivée extérieur est nulle), c'est une structure présymplectique. Si elle est en plus non-dégénérée, c'est une structure symplectique qui permet une correspondance univoque entre fonctions et champs.
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La meilleure façon de châtier les hommes est de toujours donner ce qu'ils réclament.
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